Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．
如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動、DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由；
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個線段即可得解；
（2）作PM⊥BC，將四邊形的面積表示為S_△ABC-S_△BPE即可求解；
（3）假設(shè)存在符合條件的t值，由相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由題意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
則AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：當(dāng)t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）過P作PM⊥BE，交BE于M
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=

AC

AB

=

PM

BP

，
∴

PM

2t

=

8

10

；
∴PM=

8

5

t；
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t；
∴y=S_△ABC-S_△BPE=

1

2

BC•AC-

1

2

BE•PM=

1

2

×6×8-

1

2

×(6-t)×

8

5

t
=

4

5

t2-

24

5

t+24=

4

5

(t-3)2+

84

5

；
∵a=

4

5

＞0，
∴拋物線開口向上；
∴當(dāng)t=3時，y_最小=

84

5

；
答：當(dāng)t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為

84

5

cm²．

（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上；
過P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC；
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

；
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

；
∴PN=6-

6

5

t，AN=8-

8

5

t；
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

；
∵0＜t＜4.5，∴

6- 6 5 t

9-t

=

3

5

；
解得：t=1；
答：當(dāng)t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、特殊圖形的面積的求法等知識，圖形較復(fù)雜，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強，難度較大．