Question

20、已知：關于x的方程x²-（2m-1）x+m²-m=0，
（1）求證：此方程必有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若此方程的兩根和與兩根積的差為1，求m的值？

Answer 1

分析：（1）先計算△，得到△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）=1，然后根據(jù)△的意義即可得方程必有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設原方程的兩個根分別為x₁、x₂，由根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=2m-1，x₁．x₂=m²-m，根據(jù)題意得到2m-1-（m²-m）=1，解關于m的方程即可．

解答：（1）證明：△=[-（2m-1）]²-4（m²-m）
=1＞0，
∴此方程必有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設原方程的兩個根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m-1，x₁．x₂=m²-m，
由題意，得（x₁+x₂）-x₁．x₂=1
∴2m-1-（m²-m）=1　　　　　　　　　　　　　　　
∴m²-3m+2=0
∴m=2或m=1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根與系數(shù)的關系：若方程的兩個根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=-$frac{a}$，x₁．x₂=$frac{c}{a}$．