Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直線為x軸．以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．將平行四邊形ABCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)落在y軸的正半軸上，C、D、A三點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的位置分別是P、Q和T三點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)D在y軸上；
（2）若直線y=kx+b經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，求直線PQ的解析式；
（3）將平行四邊形PQTB沿y軸的正半軸向上平行移動，得平行四邊形P′Q′T′B′，Q、T、B依次與點(diǎn)P′、Q′、T′、B′對應(yīng)）．設(shè)BB′=m（0＜m≤3）．平行四邊形P′Q′T′B′與原平行四邊形ABCD重疊部分的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB、BD、AD的長，不難得出三角形ABD為直角三角形．由于A、B在x軸上，且B為原點(diǎn)，因此D必在y軸上；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)易求出，關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可過Q作QH⊥y軸于H，那么可在直角三角形PQH中，根據(jù)PQ的長和∠QPB的三角函數(shù)值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的長，即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式．
（3）當(dāng)0＜m≤3，B'在線段BD上，此時(shí)重合部分是個五邊形．設(shè)TB'與x軸的交點(diǎn)為M，AD與Q'T的交點(diǎn)為F，那么重合部分的面積可用梯形EFDB的面積-三角形EBB'的面積來求得．
梯形的上底可用AE的長和∠DAB的正切值求出（AE的長為A點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值與Q點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的長，由此可求出S、m的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵AB²+BD²=3²+4²=5²=AD²
∴△ABD為直角三角形，且AB⊥BD．
由于x軸⊥y軸，AB在x軸上，且B為原點(diǎn)，因此點(diǎn)D在y軸上．

（2）解：顯然，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB．
過Q點(diǎn)作QH⊥BD，垂足為H．
在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×

3

5

=

12

5

．
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×

4

5

=

16

5

．
BH=PB-PH=5-

16

5

=

9

5

．
∴Q（-

12

5

，

9

5

）．
∵直線過P、Q兩點(diǎn)．
∴

b=5 - 12 5 k+b= 9 5

，解得

k= 4 3 b=5

．
∴直線PQ的解析式為y=

4

3

x+5．

（3）解：設(shè)B′T′與AB交于點(diǎn)M，Q′T′交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．
∵0＜m≤3，∴S=S_梯形BDFE-S_△BB′M．
由（2）可知，BE=QH=

12

5

．
∴AE=AB-BE=4-

12

5

=

8

5

．
∴EF=AE•tan∠DAB=

8

5

×

3

4

=

6

5

．
∴S_梯形BDFE=

1

2

（EF+BD）•BE=

1

2

×（

6

5

+3）×

12

5

=

126

25

．
又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．
∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=

3

4

m．
∴S_△BB'M=

1

2

BM•BB′=

1

2

×

3

4

m×m=

3

8

m²．
∴S=

126

25

-

3

8

m²（0＜m≤3）．

點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、圖形的翻轉(zhuǎn)變換、圖形面積的求法以及一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，難度較大．