Question

（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內(nèi)部．延長BG交DC于點F，證明GF=DF；根據(jù)上述證明過程中所添加的輔助線，找出兩兩相似的三個三角形（全等除外），并給出證明過程；
（2）問題解決
保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求

AD

AB

的值；
（3）類比探究
保持（1）中的條件不變，若DC=nDF，猜想

AD

AB

的值，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接EF，則AE=EG，可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，則GF=DF，∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，從而得出△EDF∽△BAE∽△BEF；
（2）由△EDF∽△BAE，得出

DF

AE

=

DE

AB

，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，可得出

AD

AB

的值；
（3）由△EDF∽△BAE，得

DF

AE

=

DE

AB

，根據(jù)DC=nDF，四邊形ABCD為矩形，

1 2 AB

1 2 AD

=

2

n

，則

AD

AB

=

2 n

n

．

解答：解：（1）連接EF，
∵Rt△BAE≌△BGE，
∴AE=EG，
∵AE=ED，
∴EG=ED，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠EGF=∠A=∠D=90°，
∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
∴∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，
∴∠BEF=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠A=∠D=∠BEF，
∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AEB=∠EFB，
∴△EDF∽△BAE∽△BEF；

（2）∵△EDF∽△BAE，
∴

DF

AE

=

DE

AB

，
∵DC=2DF，四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，
∴

1 2 AB

1 2 AD

=

1 2 AD

AB

，
∴

AD2

AB2

=2，
∴

AD

AB

=

2

；

（3）由（1）知，GF=DF，設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x

n

，
∴

AD

AB

=

y

nx

=

2 n

n

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，難度較大．