Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點C旋轉得到矩形FECG，點E在AD上，延長ED交FG于點H．
（1）求證：△EDC≌△HFE；
（2）連接BE、CH．四邊形BEHC是怎樣的特殊四邊形？證明你的結論．
（3）連接BE、CH．當AB與BC的比值為時，四邊形BEHC為菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵矩形FECG由矩形ABCD旋轉得到，

∴FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，

∴∠FHE=∠CED．

在△EDC和△HFE中， ，

∴△EDC≌△HFE．

（2）證明：①四邊形BEHC為平行四邊形，

∵△EDC≌△HFE，

∴EH=EC．

∵矩形FECG由矩形ABCD旋轉得到，

∴EH=EC=BC，EH∥BC，

∴四邊形BEHC為平行四邊形．

（3）
【解析】（3）解：連接BE．
∵四邊形BEHC為菱形，
∴BE=BC．
由旋轉的性質可知BC=EC．
∴BE=EC=BC．
∴△EBC為等邊三角形．
∴∠EBC=60°．
∴∠ABE=30°．
∴AB：BE= ：2．
又∵BE=CB，
∴AB與BC的比值= ．
故答案為： ．
（1）依據題意可得到FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，利用平行線的性質可證明∠FHE=∠CED，然后依據AAS證明△EDC≌△HFE即可；（2）由全等三角形的性質可知EH=EC，由旋轉的性質可得到BC=EC，從而可證明EH=BC，最后依據平行四邊形的判定定理進行證明即可；（3）連接BE．可證明△EBC為等邊三角形，則∠ABE=30°，利用特殊銳角三角函數值可得到AB：BE= ：2．