Question

如圖，已知拋物線y=-

3

4

x²+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，過(guò)點(diǎn)C（0，3）的直線y=-

3

4t

x+3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）確定b，c的值；
（2）寫出點(diǎn)B，Q，P的坐標(biāo)（其中Q，P用含t的式子表示）；
（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使△PQB為等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求得待定系數(shù)的值．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OB，BC的長(zhǎng)，在直角三角形BPH中，可根據(jù)BP的長(zhǎng)和∠CBO三角函數(shù)求出PH，BH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OH的長(zhǎng)，也就求出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．Q點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接由直線CQ的解析式求得．
（3）本題要分情況討論：
①PQ=PB，此時(shí)BH=QH=

1

2

BQ，在（2）中已經(jīng)求得了BH的長(zhǎng)，BQ的長(zhǎng)可根據(jù)B、Q點(diǎn)的坐標(biāo)求得，據(jù)此可求出t的值．
②PB=BQ，那么BQ=BP=5t，由此可求出t的值．
③PQ=BQ，已經(jīng)求得了BH的長(zhǎng)，可表示出QH的長(zhǎng)，然后在直角三角形PQH中，用BQ的表達(dá)式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值．

解答：解：（1）已知拋物線過(guò)A（-1，0）、C（0，3），則有：

- 3 4 -b+c=0 c=3

，
解得

b= 9 4 c=3

，
因此b=

9

4

，c=3；

（2）令拋物線的解析式中y=0，則有-

3

4

x²+

9

4

x+3=0，
解得x=-1，x=4；
∴B（4，0），OB=4，
因此BC=5，
在直角三角形OBC中，OB=4，OC=3，BC=5，
∴sin∠CBO=

3

5

，cos∠CBO=

4

5

，
在直角三角形BHP中，BP=5t，
因此PH=3t，BH=4t；
∴OH=OB-BH=4-4t，
因此P（4-4t，3t）．
令直線的解析式中y=0，則有0=-

3

4t

x+3，x=4t，
∴Q（4t，0）．

（3）存在t的值，有以下三種情況
①如圖1，當(dāng)PQ=PB時(shí)，
∵PH⊥OB，則QH=HB，
∴4-4t-4t=4t，
∴t=

1

3

，
②當(dāng)PB=QB得4-4t=5t，
∴t=

4

9

，
③當(dāng)PQ=QB時(shí)，在Rt△PHQ中有QH²+PH²=PQ²，
∴（8t-4）²+（3t）²=（4-4t）²，
∴57t²-32t=0，
∴t=

32

57

，t=0（舍去），
又∵0＜t＜1，
∴當(dāng)t=

1

3

或

4

9

或

32

57

時(shí)，△PQB為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的確定以及等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．要注意的是（3）題中在不確定等腰三角形的腰和底的情況下腰分類討論，不要漏解．