Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，直線過定點(diǎn)（2）的最小值為.

【解析】

（1）設(shè)，，顯然直線，的斜率是存在的，設(shè)直線的方程為，代入可得，可得出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再令得，

得出直線恒過點(diǎn)，驗(yàn)證，得，，三點(diǎn)共線，從而直線過的定點(diǎn)；

（2））由（1）設(shè)直線的方程為，代入可得，再設(shè)，，得韋達(dá)定理，，表示出，由二次函數(shù)得出線段的最小值．

（1）設(shè)，，

直線的方程為，代入可得，

則，故，

故的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

由，得，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

令得，

此時(shí)，故直線過點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，．

所以，，，三點(diǎn)共線，

所以直線過定點(diǎn)．

（2）設(shè)，，直線的方程為，

代入可得，則，，

故

（當(dāng)時(shí)，取等號）．

故，當(dāng)及直線垂直軸時(shí)，取得最小值．