Question

【題目】如圖，海岸公路MN的北方有一個(gè)小島A（大小忽略不計(jì)）盛產(chǎn)海產(chǎn)品，在公路MN的B處有一個(gè)海產(chǎn)品集散中心，點(diǎn)C在B的正西方向10處，，，計(jì)劃開辟一條運(yùn)輸線將小島的海產(chǎn)品運(yùn)送到集散中心.現(xiàn)有兩種方案：①沿線段AB開辟海上航線：②在海岸公路MN上選一點(diǎn)P建一個(gè)碼頭，先從海上運(yùn)到碼頭，再公路MN運(yùn)送到集散中心.已知海上運(yùn)輸、岸上運(yùn)輸費(fèi)用分別為400元/、200元/.

（1）求方案①的運(yùn)輸費(fèi)用；

（2）請確定P點(diǎn)的位置，使得按方案②運(yùn)送時(shí)運(yùn)輸費(fèi)用最低？

Answer 1

【答案】（1）20000元；（2）P在點(diǎn)B正西方向千米.

【解析】

（1）利用正弦定理求得，即可求得費(fèi)用；

（2）設(shè)，總費(fèi)用，利用導(dǎo)函數(shù)求解最值即可得解.

（1），在鈍角三角形ABC中，，

，

由正弦定理可得，，

所以方案①的運(yùn)輸費(fèi)用為400×50=20000元；

（2）由（1）可得點(diǎn)A到公路所在直線的距離為，設(shè)，

易得

則總費(fèi)用，

，

，，

當(dāng)，

所以，單調(diào)遞減，

，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，

取得最小值為，

此時(shí).

所以P在點(diǎn)B正西方向千米.