Question

【題目】已知定義在上的函數(shù).

（1）求單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：若、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得，然后對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)符號的變化，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出，設(shè)，，由得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出結(jié)論.

（1），，

令得或.

當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得.

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；

當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得.

此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；

（2）當(dāng)時(shí)，，則，

由（1）知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和，且函數(shù)在上單調(diào)遞增.

令，可得，令，

所以，直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).

且，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以，函數(shù)的極小值為，極大值為，且恒成立.

作出直線與函數(shù)的圖象如下圖所示：

當(dāng)時(shí)，則直線與函數(shù)的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，

且其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可作為、，并設(shè).

①若，顯然；

②若，令，

則，

當(dāng)時(shí)，，，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，即，

不妨設(shè)，，則，即，，

.

綜上所述，.