Question

【題目】設(shè) （，）．

（1）若展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶8，求k的值；

（2）設(shè)（），且各項(xiàng)系數(shù)，，，…，互不相同．現(xiàn)把這個(gè)不同系數(shù)隨機(jī)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：第1列1個(gè)數(shù)，第2列2個(gè)數(shù)，…，第n列n個(gè)數(shù)．設(shè)是第i列中的最小數(shù)，其中，且i，．記的概率為．求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用題目所給展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的系數(shù)之比列方程，解方程求得的值.

（2）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式，求得的表達(dá)式，構(gòu)造數(shù)列，判斷出數(shù)列的單調(diào)性，由此證得不等式成立

（1）因?yàn)樵谡归_式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶8，即，

所以，即，所以，

解得或．

因?yàn)?/span>，所以．

（2）由題意，最小數(shù)在第n列的概率為，

去掉第n列已經(jīng)排好的n個(gè)數(shù)，

則余下的個(gè)數(shù)中最小值在第列的概率為，

…………

以此類推，

余下的數(shù)中最小數(shù)在第2列的概率為，

所以．

由于，所以．

設(shè)，

所以．

記，所以，

所以是遞增數(shù)列，所以；是遞增數(shù)列，所以，

所以，所以，即．