Question

【題目】如圖，在市中心有一矩形空地．市政府欲將它改造成綠化景觀帶，具體方案如下：在邊上分別取點(diǎn)M，N，在三角形內(nèi)建造假山，在以為直徑的半圓內(nèi)建造噴泉，其余區(qū)域栽種各種觀賞類植物．

（1）若假山區(qū)域面積為，求噴泉區(qū)域面積的最小值；

（2）若，求假山區(qū)域面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，半圓的直徑，根據(jù)假山區(qū)域面積為，找到與的關(guān)系，再表示出噴泉區(qū)域面積，求最值，注意驗(yàn)證半圓是否在矩形空地內(nèi)，即驗(yàn)證是否能取到最小值；

（2）由（1）根據(jù)以為直徑的半圓區(qū)域在矩形廣場(chǎng)內(nèi)，求得的范圍，再將假山區(qū)域面積用表示出來，再求最值.

解：（1）設(shè)，半圓的直徑，半圓的圓心為O．

在直角三角形中，，所以．

因?yàn)榧偕絽^(qū)域面積為，

所以

所以，所以噴泉區(qū)域面積，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．此時(shí)．

因?yàn)辄c(diǎn)O到的距離，點(diǎn)O到的距離，

所以，即，

，即．

所以以為直徑的半圓區(qū)域一定在矩形廣場(chǎng)內(nèi)．

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．

噴泉區(qū)域面積的最小值為．

（2）由（1）知，若，則．

所以點(diǎn)O到的距離，

點(diǎn)O到的距離，

因?yàn)橐?/span>為直徑的半圓區(qū)域在矩形廣場(chǎng)內(nèi)，

所以即所以．

又因?yàn)?/span>，所以．

所以假山區(qū)域面積，

因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，假山區(qū)域面積的最大值為．