Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B重合），作EF⊥AB于F，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)BE=x，△DEF的面積為S．
（1）求證：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）要證明△BEF∽△CEG，只需要證明∠BFG=∠G，且∠BEF=∠CEG，即可；
（2）由（1）知DG為△DEF中EF邊上的高，在Rt△BFE中，∠B已知，EF可求；在Rt△CEG中，CE=3-x，則GC可求，
∴DG=GC+CD可求，∴△DEF的面積S可表示出來(lái)；
（3）函數(shù)S是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a=-

3

8

＜0，對(duì)稱(chēng)軸x=

11

2

，易得x=3時(shí)，S取最大值，是3

3

．

解答：（1）證明：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴EF⊥DG．∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG；
（2）解：由（1）得DG為△DEF中EF邊上的高，設(shè)BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=

3

2

x．
在Rt△CEG中，CE=3-x，GC=(3-x)cos60°=

3-x

2

，∴DG=DC+GC=

11-x

2

，
∴S=

1

2

EF•DG=-

3

8

x2+

11 3

8

x，（其中0＜x≤3）；
（3）解：∵a=-

3

8

＜0，對(duì)稱(chēng)軸x=

11

2

＞3，∴當(dāng)0＜x≤3時(shí)，S隨x的增大而增大，
所以，當(dāng)x=3時(shí)，即E與C重合時(shí)，取最大值：Smax=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的證明，三角形的面積公式應(yīng)用和求二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔題．