Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）將代入中可得（）,令,解得,進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間；

（2）令,解得（舍）,,可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,由于函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),則,整理即為,設(shè),可得在是單調(diào)遞增的,則,進(jìn)而求得

（1）函數(shù),

當(dāng)時(shí),（）,

∴,

令,即,

解得或（舍）,

∴時(shí),；時(shí),,

∴的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是

（2）,

則,

令,得,

∵,

∴,

∴方程的解為（舍）,；

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，

∴,

若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),

則,

而滿(mǎn)足,

∴,

即,

設(shè),

∵在是單調(diào)遞增的,

∴至多只有一個(gè)零點(diǎn),

而,

∴用代入,

得,

解得