Question

如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對(duì)角線把折起，使移到點(diǎn)，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）三棱錐的體積為.

解析試題分析：（1）利用折疊后點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)在棱上得到平面，從而得到，再結(jié)合即可證明平面，進(jìn)而證明；（2）由（1）中的結(jié)論平面并結(jié)合平面與平面垂直的判定定理即可證明平面平面；（3）先利用等面積法求出的值，利用（1）中的結(jié)論平面，以及的面積利用錐體的體積公式即可計(jì)算出三棱錐的體積；或者（1）中的結(jié)論平面，利用等體積法三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積來(lái)進(jìn)行計(jì)算.
試題解析：（1）在平面上的射影在上，平面，
又平面，，
又，，平面，
又平面，；
（2）四邊形是矩形，，
由（1）知，，平面，
又平面，平面平面；
（3）平面，，
在中，由，，得，，
平面，且 ，
故三棱錐的體積為；
另解：平面，，，，，
.
考點(diǎn)：1.直線與平面垂直