Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求的單調(diào)性和極值；

（Ⅱ）若函數(shù)至少有1個零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為-2，無極大值 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，分別得到當(dāng)時，，當(dāng)時，，判斷出單調(diào)性，從而得到其極值；

（Ⅱ）根據(jù)題意得到，令，求導(dǎo)得到，由得，令，由零點(diǎn)存在定理得到存在，使得，由得到的最小值，再對的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論，得到答案.

（Ⅰ）當(dāng)時，，

∴

當(dāng)時，，，

∴，

當(dāng)時，，，

∴

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

在處取得極小值，極小值為，無極大值

（Ⅱ）∵，

由得

令，

則

由得．

令，當(dāng)時，，

∴在單調(diào)遞增，

∵，，

∴存在，使得

且當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，，即

∵，，

∴當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴在處取得最小值

∵，

∴，即，

∴，即

∴當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)，

當(dāng)時，∵，

∴函數(shù)至少有1個零點(diǎn)，

故的取值范圍是.