Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）存在；

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合基本不等式，分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，令，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

則，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“等號(hào)”，

所以，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則此時(shí)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

令，解得，，

由，

而，故.

由可得或，

即此時(shí)在，上單調(diào)遞增；

由可得，

即此時(shí)在上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)?/span>，

由題知方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

因此有，解得，

這時(shí)，，

于是

.

令，解得，滿足.

所以存在實(shí)數(shù)，使得.