Question

【題目】如圖所示，三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且，，是線(xiàn)段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)詳解；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)為，根據(jù)幾何關(guān)系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線(xiàn)線(xiàn)平行推證線(xiàn)面平行；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，即可求得線(xiàn)面角的正弦值.

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，.如下圖所示：

因?yàn)?/span>，分別是線(xiàn)段和的中點(diǎn)，

所以是梯形的中位線(xiàn)，所以.

又，所以.

因?yàn)?/span>，，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

所以，.

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，且平面，

故可以為原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

不妨設(shè)，則，

所以，，，，.

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

則所以

可取.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則.

故可得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.