Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。

（Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）令，比較與的大小，并證明。（本小題滿分14分）

Answer 1

（Ⅰ）.

（Ⅱ）當(dāng)，當(dāng)時(shí)

解析:

（I）在中，令n=1，可得，即

當(dāng)時(shí)，，…… 2分

.

  .                   .   

 又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. ……………………4分

 于是.……………………5分

(II)由（I）得，所以

由①-②得                  

……………………8分

于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小

由                  

可猜想當(dāng)證明如下：……………………10分

證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。

（2）假設(shè)時(shí)

所以當(dāng)時(shí)猜想也成立

綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有

證法2：當(dāng)時(shí)

綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)