Question

【題目】如圖，已知橢圓的左頂點，且點在橢圓上， 分別是橢圓的左、右焦點。過點作斜率為的直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若為等腰三角形，求點的坐標；

（3）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得橢圓的標準方程： ；

(2)由題意可得點在軸下方據(jù)此分類討論有： ，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得；

(3)設直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得 利用幾何關(guān)系計算可得 ，利用點在橢圓上得到關(guān)于實數(shù)k的方程，解方程有： .

試題解析：

（1）由題意得，解得

∴橢圓的標準方程：

（2）∵為等腰三角形，且∴點在軸下方

若，則；

若，則，∴；

若，則，∴；

∴

∴直線的方程，由得或

∴

（3）設直線的方程，

由得

∴ ∴

∴ ∴

若，則∴，∴，∵，∴，∴與不垂直；

∴，∵， ，

∴直線的方程，直線的方程:

由 解得 ∴

又點在橢圓上得，即，即

∵，∴