Question

已知橢圓的離心率為．
（1）若圓（x-2）²+（y-1）²=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓的方程；
（2）設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60°．求的值．
（3）在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點分別為F₁、F₂，點R在直線l：x-y+8=0上．當∠F₁RF₂取最大值時，求的值．

Answer 1

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k①
∵離心率e=，∴橢圓方程可化為②
將①代入②得（1+2k²）x²+4（1-2k）•kx+2（1-2k）²-2b²=0
∵x₁+x₂=，∴k=-1
∴x₁x₂=
又，∴
即，∴b²=8
∴橢圓方程為
（2）設|MF|=m，|NF|=n，則由第二定義知
即或
∴或．
（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．
直線l與x軸于S（-8，0），
∵△F₁SR∽△RSF₂，
∴．
分析：（1）設出AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及線段AB恰為圓的直徑，可求橢圓的方程；
（2）設|MF|=m，|NF|=n，則由第二定義知，由此可求的值；
（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切，利用△F₁SR∽△RSF₂，即可求的值．
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查橢圓的第二定義，考查三角形的相似，正確運用橢圓的性質及第二定義是關鍵．