Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a≥2b＞0)．
（1）求橢圓C的離心率的取值范圍；
（2）若橢圓C與橢圓2x²+5y²=50有相同的焦點，且過點M（4，1），求橢圓C的標準方程．

Answer 1

分析：（1）利用離心率公式，結合a≥2b及0＜e＜1，可確定橢圓C的離心率的取值范圍；
（2）由2x²+5y²=50確定其焦點，結合點M（4，1）在橢圓C上，即可求橢圓C的方程、

解答：解：（1）離心率e=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

1- b2 a2

…（1分）
∵a≥2b，∴

b

a

≤

1

2

，
∴e=

1- b2 a2

≥

1- 1 4

=

3

2

，…（3分）
又0＜e＜1，
∴e∈[

3

2

，1)…（4分）
（2）由2x²+5y²=50得

x2

25

+

y2

10

=1，其焦點為(±

15

，0)…（5分）
點M（4，1）在橢圓C上，
∴

16

a2

+

1

b2

=1①…（6分）
又a²-b²=15，即a²=b²+15②…（7分）
代入①得b⁴-2b²-15=0，解得b²=5或b²=-3（舍去）  …（9分）
∴a²=20，
故所求橢圓C的方程為

x2

20

+

y2

5

=1．…（10分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，熟練掌握橢圓幾何量之間的關系是關鍵．