Question

已知函數(shù)f（x）=ln（a^x-1），（a＞0，a≠1）
（1）敘述對數(shù)換底公式并加以證明．
（2）求函數(shù)f（x）的定義域；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．用單調(diào)性定義證明a=2時f（x）單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)和指數(shù)式的關(guān)系證明換底公式．（2）利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的定義域．（3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）對數(shù)的換底公式為：logbN=

logaN

logab

=（a，b，N都是正數(shù)，a≠1，b≠1）．
證明：令log_b^N=x，則b^x=N，兩邊同取以a為底的對數(shù)得：
logabx=logaN，
∴x•log_ab=log_aN，
即x=

logaN

logab

，
∴logbN=

logaN

logab

成立．
（2）要使函數(shù)有意義，則a^x-1＞0，即a^x＞1，
若a＞1，則x＞1，此時函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
若0＜a＜1，則x＜0，此時函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）．
（3）令t=a^x-1，則y=lnt，
①當(dāng)a＞1時，t=a^x-1，單調(diào)遞增，y=lnt單調(diào)遞增，∴f（x）在（0，+∞），
單調(diào)遞增．
②當(dāng)0＜a＜1時，t=a^x-1，單調(diào)遞減，y=lnt單調(diào)遞增，∴f（x）在（-∞，0）．
單調(diào)遞減．
當(dāng)a=2時，f（x）=ln（2^x-1），此時定義域?yàn)椋?，+∞），
設(shè)x₁＞x₂＞1，則2x1-1＞2x2-1，而y=lnt單調(diào)遞增，
∴f（x₁）-f(x2)=ln(2x1-1)-ln(2x2-1)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=ln（2^x-1），在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)的基本運(yùn)算，以及對數(shù)的換底公式的證明，利用單調(diào)性的定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．