Question

【題目】知函數(shù)，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直.

(1)求的解析式；

(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍 .

Answer 1

【答案】(1) 。

(2) 或。

【解析】分析：（1）分別求出與在交點(diǎn)處切線的斜率，從而得到答案；

（2）對求導(dǎo)，分類討論即可.

詳解：(1) ，，

又，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直，

,.又在上, ，

故.

(2)由題知

.

①,即時(shí),令,得;

令,得或，

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故存在使

.又，，，

在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),

在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),共個(gè)零點(diǎn),不符合題意,舍去.

②時(shí),令,得，令,得或，

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又,,有兩個(gè)零點(diǎn),符合題意.

③,即時(shí),令,得,

令,得或，

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),

若要有兩個(gè)零點(diǎn),必有,解得.

④,即時(shí),令,得，令,得或，

在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，

,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，

又

，

∴在區(qū)間∴上不存在零點(diǎn),即只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.

綜上所述, 或.