Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：

a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2.

（1）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，若是,請(qǐng)求出通項(xiàng)公式;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求證：＜.

Answer 1

解：(1)依題意數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n，

故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+(n-1)b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，

同時(shí)有b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+(n-2)b₂+(n-1)b₁=2ⁿ-n-1(n≥2)，

兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1,

可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=2^n-1，

知數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

(2)設(shè)等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，從而有：

bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2.

又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1(n≥2)，

故(2ⁿ-n-1)q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2,

a_n=×2ⁿ+×n+，

要使a_n+1-a_n是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，必須q=2，

即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b_n}的公比q=2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是a_n=；

②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b_n}的公比不是2時(shí)，數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列.

(3)證明:由(2)知a_nb_n=n·2ⁿ，

=+…+,

=+…+(n≥5)

=+++×

=+++×()^n-3

=×()^n-3＜×()^n-3＜.