Question

（本小題滿分13分）已知、，橢圓C的方程為，、分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓C上一點(diǎn)，存在以為圓心的與外切、與內(nèi)切
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)D，若
求的值；
（Ⅲ）已知真命題：“如果點(diǎn)T（）在橢圓上，那么過點(diǎn)T
的橢圓的切線方程為=1.”利用上述結(jié)論，解答下面問題：
已知點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，
M、N為切點(diǎn)，問直線MN是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C的方程為+=1
（Ⅱ）
（Ⅲ）直線MN必過定點(diǎn)（）

本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想
（Ⅰ）依題意可知，P與外切、內(nèi)切. 設(shè)P的半徑為，則 
  -----------------------------------2分
，   2=4，2==2
=2，c="1" , 橢圓C的方程為+="1 " ------------------------4分
（Ⅱ）直線AB：y=k（x-1），由  
,令A(yù),則，
，      ------------------------------------6分
∵
∴，
∵2=，， ------------------------------------8分
2+
=
= ，     ∴. -----------------------10分
（Ⅲ）設(shè)Q（）,M（），N（）
則切線QM：
切線QN：
∴     ∴M、N在直線上
∴ 直線MN：------------------------------------12分
又   
∴直線MN必過定點(diǎn)（）. ------------------------------------13分