Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為為上位于第一象限的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn).

（1）若當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且為等腰三角形，求的方程；

（2）對(duì)于（1）中求出的拋物線，若點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為交軸于點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)的坐標(biāo)為，并求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】【試題分析】（1）可直接依據(jù)等腰三角形的幾何特征建立方程求解；（2）先依據(jù)題條件建立直線的截距式方程，借助直線與拋物線的方程之間的關(guān)系，運(yùn)用坐標(biāo)之間的聯(lián)系建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域使得問題獲解：

解：(1) 由題知，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，故的方程為.

(2) 依題可設(shè)直線的方程為，則，由消去，得， ，設(shè)的坐標(biāo)為，則，由題知，所以，即，顯然，所以，即證，由題知為等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以，令，易知在上是減函數(shù)，所以.