Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求得該函數(shù)的極值點，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；

（2）當時，由恒成立，得出，構(gòu)造函數(shù)，可得，然后對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗證是否恒成立，由此可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）若恒成立，即恒成立

時，，即，即，

設(shè)，

則，

①當時，，則當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

此時，即成立，所以，符合題意；

②當時，，則當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.