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1．已知集合，則為 （    ）

A．            B．                C．         D．

2．若復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為        （    ）

       A．－2      B．4           C．－6      D．6

3．函數(shù)的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是    （    ）

  A、       B、         C、        D、 

4．已知向量，(1, )，則的最小值是             （    ）

A．1                    B．                       C．                D．2

5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則       （    ）

     A．      B．     C．     D．

6．下面給出四個命題：

① 直線與平面內(nèi)兩直線都垂直，則；

② 經(jīng)過直線有且僅有一個平面垂直于直線；

③ 過平面外兩點，有且只有一個平面與垂直；

④ 直線同時垂直于平面、，則∥；其中正確的命題個數(shù)為        （    ）

A、0                       B、1                         C、2                        D、3

7．一次文藝演出中，需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈共15只，以不同的點亮方式增加舞臺效果，設(shè)計者按照每次點亮?xí)r，恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時被關(guān)掉，兩端的燈必須點亮的要求進行設(shè)計，那么不同點亮方式的種數(shù)是       （    ）

       A．28    B．84     C．180  D．360

8．直線與圓的位置關(guān)系是                 （    ）

A．相交        B．相離      C．相切    D．與、的取值有關(guān)

9．已知x，y滿足，的最大值為，最小值為，

則a的范圍為                                                       （    ）

       A　        B　       C　       D　

10．若, 則與的大小關(guān)系是          (    )

A．  B．  C．  D．不能確定

11．橢圓的中心、右焦點、右頂點、右準(zhǔn)線與軸的交點依次

為，則的最大值為                               （    ）

A．          B．         C．        D．不能確定

12．如圖，已知平面平面，、是平面與平面的交線上的兩個定點，

，且，，，，，在平面內(nèi)有一個動點

，使得，則的面積的最大值是                 （    ）

A．     B．    C．        D．

第Ⅱ卷 （非選擇題 滿分90分）

把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上．

13．二項式的展開式中常數(shù)項為__________；

14．在四面體ABCD中，三組對棱棱長分別相等且依次為、、5，則此四面體ABCD的外接球的半徑R為__________；

15．已知分別為雙曲線的左右焦點，為雙曲線左支上的

一點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________；

16．對于函數(shù)（為常數(shù)，且），給出下列命題：

① 函數(shù)的最小值為-1；

② 函數(shù)在每一點處都連續(xù)；

③ 函數(shù)在R上存在反函數(shù)；

④ 函數(shù)在處可導(dǎo)；

⑤ 對任意的實數(shù)且，恒有；

其中正確命題的序號是__________；

17．（本題滿分10分）

在中，角的對邊分別為，，

，且；

（1）求角的大��；

（2）當(dāng)取最大值時，求角的大��；

18. （本題滿分12分）

一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球,

 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為；

（1）求時的概率；（2）求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；  

19. （本小題滿分12分）

如右圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊，且使兩個三角板所在平面互相垂直，若，，，．

（Ⅰ）求證：平面平面．

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

（Ⅲ）求到平面的距離．

20. （本題滿分12分）

已知函數(shù)；

（1）；

（2）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個不同的實根,求實數(shù)b的取值范圍；

21. （本題滿分12分）

已知數(shù)列中，，且；

（1）求證：；

（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求的解析式；

（3）求證：不等式對于恒成立；（（3）問只理科生做，文科生不做）

22．（本題滿分12分）

在△ABC中，，B是橢圓的上頂點，l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線，當(dāng)AC在直線l上運動時．

（1）求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

（2）過定點F(0，)作互相垂直的直線l1、l2，分別交軌跡E于M、N和R、Q；

求四邊形MRNQ的面積的最小值；

哈爾濱市第六中學(xué)2009屆高三第一次模擬考試

理科數(shù)學(xué)試卷答案

17．（本題滿分10分）

在中，角的對邊分別為，，

，且；

⑴求角的大小；

⑵當(dāng)取最大值時，求角的大小；

解：⑴由，得，從而

由正弦定理得

，，            （4分）

⑵

由得，時，

即時，取最大值                                    （10分）

18. （本題滿分12分）

一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3、4數(shù)字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設(shè)三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為.

（1）求時 的概率；（２）求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望. 

18. 解：（解法一 ）（１）表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3．

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率

②三取取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率

∴．   ……………………………………4分

（２）在時, 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

的概率分布為：

１

２

３

４

=1×＋2×＋3×＋4× = ．…………………………………………12分

（解法二）（１）表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3．

．   ……………………………………4分

（２）在時, 利用（１）的原理可知：

,(=1,2,3,4)

的概率分布為：

１

２

３

４

=1×＋2×＋3×＋4× = ．………12分

19．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由于平面平面，且，那么平面，而平面，則………①，又………②,………③，所以平面，又因為平面,所以平面平面；

（Ⅱ）取中點，作于，連，則平面，為二面角的平面角。

中，，則，，，，

中，

∴二面角的正切值為2；

（Ⅲ）作于，則平面

中，，，，

    即到平面的距離為。

20． (本大題滿分12分)
已知函數(shù)．

（1）。

（2）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

（3）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個不同的實根,求實數(shù)b的取值范圍。

解：（Ⅰ）        （1分）

         令得或（舍去）

        列表得： 為函數(shù)在上的極大值,無極小值；（4分）

（Ⅱ）由，可得或

     即或

由（Ⅰ）當(dāng)時，，

∵恒成立，∴

∵恒成立，∴

∴的取值范圍為：或    （8分）

（Ⅲ）由

令 （或令求也可）

 則

    令得 或（舍去）

     當(dāng)時，，于是在上遞增

當(dāng)時，，于是在上遞減

而

∴即在恰有兩個不同實根等價于

由此得：            （12分）

21. （本題滿分12分）

已知數(shù)列中，，且

（1）求證：；
（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求的解析式；

（3）求證：不等式對于恒成立。

（1），

又因為，則，即，又，，…………………………………….4分

（2），…….5分

因為，所以當(dāng)時，….6分

當(dāng)時，，①

，②

①-②：，

.綜上所述，……………8分

（3），

又，易驗證當(dāng)時不等式成立；

假設(shè)，不等式成立，即，兩邊乘以3得

又因為

所以

即時不等式成立.故不等式恒成立……………………………………..12分

22．（本題滿分12分）

在△ABC中，，B是橢圓的上頂點，l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線，當(dāng)AC在直線l上運動時．

  (1) 求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

  (2) 過定點F(0，)作互相垂直的直線l1、l2，分別交軌跡E于M、N和R、Q．

求四邊形MRNQ的面積的最小值．

 (1)解：（解法一）由橢圓方程及雙曲線方程可得點B(0，2)，

直線l的方程是． ，且AC在直線l上運動.

可設(shè)，

則AC的垂直平分線方程為 ①

AB的垂直平分線方程為 ②   

∵P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標(biāo)(x，y)滿足方程①和②.

由①和②聯(lián)立消去m得：，即.

故圓心P的軌跡E的方程為          6分

（解法二）利用直線被圓截得的弦長公式（勾股定理）求軌跡方程也可；

(2)解：如圖，直線l1和l2的斜率存在且不為零，設(shè)l1的方程為

∵l1⊥l2，∴l(xiāng)2的方程為由得

，∴直線l1與軌跡E交于兩點.

設(shè)M(x1，y1)， N(x2，y2)，則

∴
同理可得：                    9分

∴四邊形MRNQ的面積

≥

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．12分