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(2)  ∵ , ∴=4.

∴{}是公差為4的等差數(shù)列.

∵a₁=1,  ∴=+4(n-1)=4n-3.

∵a_n>0 , ∴a_n=.                                        

(3)   b_n=S_n+1-S_n=a_n+1²=, 由b_n<,得 m>對(duì)于n∈N成立.

∵≤5 ,

∴m>5,存在最小正數(shù)m=6,使得對(duì)任意n∈N有b_n<成立.

為了求a_n ,我們先求,這是因?yàn)閧}是等差數(shù)列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構(gòu)造等差數(shù)列的一個(gè)典范.

例4  已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.

（1）       求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（2）若函數(shù)

求函數(shù)f(n)的最小值；

   (3)設(shè)表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由.  

    講解  從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索.

   （1）

    （2） ,

         ,

     .

    （3）,

      .

     故存在關(guān)于n的整式使等式對(duì)于一切不小2的自然數(shù)n恒成立.

     事實(shí)上, 數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列, 你知道嗎？

    例5  深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市有兩家出租車公司――紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個(gè)城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的出租車是紅色，并對(duì)證人的辨別能力作了測試，測得他辨認(rèn)的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請(qǐng)問警察的認(rèn)定對(duì)紅色出租車公平嗎？試說明理由.

    講解  設(shè)該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息：

證人所說的顏色（正確率80%）

真

實(shí)

顏

色

藍(lán)色

紅色

合計(jì)

藍(lán)色（85%）

680

170

850

紅色（15%）

30

120

150

合計(jì)

710

290

1000

從表中可以看出，當(dāng)證人說出租車是紅色時(shí)，且它確實(shí)是紅色的概率為，而它是藍(lán)色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì)紅色出租車顯然是不公平的.

本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識(shí), 上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨(dú)特性, 在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見的.

    例6  向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究，得到如下兩個(gè)不同的信息圖：

   （A）圖表明：從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞;

   （B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年的10個(gè).

   請(qǐng)你根據(jù)提供的信息解答下列問題：

   （1）第二年的養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？

   （2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？

   講解 （1）設(shè)第n年的養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)為，平均每個(gè)養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞萬只，

     由圖（B）可知, =30，且點(diǎn)在一直線上，

從而 

     由圖（A）可知, 且點(diǎn)在一直線上，

于是  

     =（萬只），（萬只）

     第二年的養(yǎng)雞場的個(gè)數(shù)是26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；

     （2）由（萬只），

     第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬只.

     有時(shí)候我們需要畫出圖形, 有時(shí)候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個(gè)事物的兩個(gè)方面. 看來, 讀圖與識(shí)圖的能力是需要不斷提升的.

例7 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在l上.

   （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

   （2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn).

   （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；

   （ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

講解  本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，是解析幾何中的存在性問題.

（1）由曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，知曲線M的方程為.

（2）（i）由題意得，直線AB的方程為 消y得

于是,  A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B（3，），

假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，

即有

由①－②得

因?yàn)椴环�合①，所以由①，②組成的方程組無解.

故知直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

（ii）設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，

由

即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－1，）時(shí)，三點(diǎn)A，B，C共線，故.

  ，

  ，   

  .

  (i) 當(dāng)，即，

 即為鈍角.

(ii) 當(dāng)，即，

 即為鈍角.

(iii)當(dāng)，即，

 即.   該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

故當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.

需要提及的是, 當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí), 鈍角的位置可能有三個(gè),需要我們進(jìn)行一一探討.

例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足關(guān)系式  .

   （1）求f（0），f（1）的值；

   （2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

   （3）若，求數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)的和S_n.

講解 本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的基本知識(shí)，考查從一般到特殊的取特值求解技巧.

   （1）在中,令得

           .

     在中,令得

        ，有 .

   （2）是奇函數(shù),這需要我們進(jìn)一步探索. 事實(shí)上 

        故為奇函數(shù).

（2）       從規(guī)律中進(jìn)行探究,進(jìn)而提出猜想.

 由   

       ,

         ………………………………

猜測  .

于是我們很易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.

     1° 當(dāng)n=1時(shí)，，公式成立；

     2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

，公式仍然成立.

     綜上可知，對(duì)任意成立.

  從而   .

     ，.

     故

例9  若、，

(1)求證：；

    (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

    (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值.

講解  (1)采用反證法. 若，即, 解得

從而與題設(shè),相矛盾，

   故成立.

 (2) 、、、、,

     .

（3）因?yàn)?nbsp;又,

所以,

因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式，故可解得、.

    我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎?

例10 如圖，已知圓A、圓B的方程分別是動(dòng)圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：．

（1）求圓P的軌跡方程，并證明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到定直線l距離的比為定值；

（2） 延長PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q，求的最小值；

（3）如果存在某一位置，使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C，滿足求a的取值范圍．

   講解（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，

∴ |PA| －｜PB| = 2．

∴ 點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長為2的雙曲線的右準(zhǔn)線的右支，其方程為  （x ≥1）．若 , 則l的方程為雙曲線的右準(zhǔn)線, ∴點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.

(2)若直線PQ的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線PQ的方程為y = k ( x－2 )代入雙曲線方程, 得

由　 ，　解得＞３．　

∴  ｜PQ｜＝．　

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，得，｜PQ|＝６．

∴�。黀Q|的最小值為６．　

（3）當(dāng)PQ⊥QC時(shí)，P、C、Q構(gòu)成Rt△.

∴  R到直線l的距離｜RC|＝  ① 

又　∵ 　點(diǎn)P、Q都在雙曲線上，

∴　�。�

∴　　，即　�。�

∴　　　②　

將②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．

故有ａ≤－１．

“如果存在”并不意味著一定存在, 如何修改本題使其成為不存在的范例呢? 問題的提出既能延伸我們的思緒, 更能完善我們的知識(shí)技能, 無形中使解題能力得到逐漸的提升.