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    高考復習科目：數(shù)學      高中數(shù)學總復習(十一)  
    復習內容：高中數(shù)學第十一章-概率 第十二章-概率與統(tǒng)計 
    復習范圍：第十一章、第十二章
    編寫時間：2005-5
    修訂時間：總計第三次 2005-6
                                      
I. 基礎知識要點           

    一、概率.
    1. 概率：隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.
    2. 等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有年n個，且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率.
    3. ①互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.
    ②對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因為其中一個必發(fā)生.
    注意：i.對立事件的概率和等于1：. 
    ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.
    ③相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此，當兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則 A應與B互為獨立事件[看上去A與B有關系很有可能不是獨立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.
    推廣：若事件相互獨立，則.
    注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A 與與B，與也都相互獨立.
    ii. 必然事件與任何事件都是相互獨立的.
    iii. 獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.
    ④獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：.
    4. 對任何兩個事件都有
    二、隨機變量. 
    1. 隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：
    ①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果.
    它就被稱為一個隨機試驗.
    2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若ξ是一個隨機變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機變量.一般地，若ξ是隨機變量，是連續(xù)函數(shù)或單調函數(shù)，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.
    設離散型隨機變量ξ可能取的值為：
    ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.
    …
    …
    P
    …
    …
    有性質①； 
②.
    注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如：即可以取0～5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).
    3. ⑴二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：[其中]  
    于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作～B（n?p），其中n，p為參數(shù)，并記.
    ⑵二項分布的判斷與應用.
    ①二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.
    ②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.
    4. 幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量ξ的概率分布列.
    1
    2
    3
    …
    k
    …
    P
    q 
    qp 
    …
    …
    我們稱ξ服從幾何分布，并記，其中
    5. ⑴超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機變量，分布列為.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定＜時，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕
    ⑵超幾何分布的另一種形式：一批產品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數(shù)ξ的分布列為.
    ⑶超幾何分布與二項分布的關系.
    設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)ξ服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即～.[我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法] 可以證明：當產品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.
    三、數(shù)學期望與方差.
    1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為
    

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    …
    

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    …
    P
    

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    …
    

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    …
    

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    則稱為ξ的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學期望又簡稱期望.數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
    

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    2. ⑴隨機變量的數(shù)學期望： 
    

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    ①當時，，即常數(shù)的數(shù)學期望就是這個常數(shù)本身.
    

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    ②當時，，即隨機變量ξ與常數(shù)之和的期望等于ξ的期望與這個常數(shù)的和.
    

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    ③當時，，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積.
    ξ
    0
    1
    P
    q
    p
    

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    ⑵單點分布：其分布列為：. 
    

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    ⑶兩點分布：，其分布列為：（p + q = 1）
    

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    ⑷二項分布： 其分布列為～.（P為發(fā)生的概率）
    

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    ⑸幾何分布：  其分布列為～.（P為發(fā)生的概率）
    

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    3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量ξ的分布列為時，則稱為ξ的方差. 顯然，故為ξ的根方差或標準差.隨機變量ξ的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.
    

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    4.方差的性質.
    

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    ⑴隨機變量的方差.（a、b均為常數(shù)）
    ξ
    0
    1
    P
    q
    p
    

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    ⑵單點分布： 其分布列為
    

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    ⑶兩點分布： 其分布列為：（p + q = 1）
    

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    ⑷二項分布：
    

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    ⑸幾何分布：   
    

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    5. 期望與方差的關系.
    

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    ⑴如果和都存在，則
    

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    ⑵設ξ和是互相獨立的兩個隨機變量，則
    

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    ⑶期望與方差的轉化：    ⑷（因為為一常數(shù)）.
    

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    四、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）
    1.密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區(qū)間內的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積
    

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    （如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為
    

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    圖像的函數(shù)叫做ξ的密度函數(shù)，由于“”
    

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    是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.
    

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    2. ⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量ξ的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱ξ服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用～表示.的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.
    

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    ⑵正態(tài)分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：.
    ⑶正態(tài)曲線的性質.
    ①曲線在x軸上方，與x軸不相交.
    

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    ②曲線關于直線對稱.
    

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    ③當時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.
    

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    ④當＜時，曲線上升；當＞時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.
    

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    ⑤當一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.
    

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    3. ⑴標準正態(tài)分布：如果隨機變量ξ的概率函數(shù)為，則稱ξ服從標準正態(tài)分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的計算則是.
    

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    注意：當標準正態(tài)分布的的X取0時，有當的X取大于0的數(shù)時，有.比如則必然小于0，如圖.  
    

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    ⑵正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關系：若～則ξ的分布函數(shù)通
    

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    常用表示，且有. 
    

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    4.⑴“3”原則.
    

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    假設檢驗是就正態(tài)總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：①提出統(tǒng)計假設，統(tǒng)計假設里的變量服從正態(tài)分布.②確定一次試驗中的取值是否落入范圍.③做出判斷：如果，接受統(tǒng)計假設. 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設.
    

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    ⑵“3”原則的應用：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布則 ξ落在內的概率為99.7％ 亦即落在之外的概率為0.3％，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產品不合格（即ξ不服從正態(tài)分布）.
    

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