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練習冊

練習冊
試題

四川省資陽市2008―2009學年度高中三年級第二次高考模擬考試

數(shù)學（理）

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁．全卷共150分，考試時間為120分鐘．（考試時間3月28日）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

注意事項：

1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．

2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上．

3．考試結(jié)束時，將本試卷和答題卡一并收回．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么_.

如果事件A、B相互獨立，那么_.

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率_.

球的表面積，其中R表示球的半徑.

球的體積，其中R表示球的半徑.

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目的要求的．

1．已知i為虛數(shù)單位，集合，，且，則實數(shù)m的值為

（A）±2 （B）±1 （C）-1 （D）1

2．若，則下列不等式不成立的是

（A）（B）（C）（D）

3．函數(shù)是

（A）最小正周期是π的偶函數(shù) （B）最小正周期是π的奇函數(shù)

（C）最小正周期是2π的偶函數(shù) （D）最小正周期是2π的奇函數(shù)

4．已知直線mÌ平面α，條件甲：直線l∥α，條件乙：l∥m，則甲是乙的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件

5．已知隨機變量ξ的概率密度函數(shù)為，則下列結(jié)論錯誤的是

（A）（B）隨機變量ξ的期望與標準差均為1

（C）的漸近線方程為（D）在區(qū)間上是減函數(shù)

6．在右邊的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行的數(shù)成等差數(shù)列，每一縱列的數(shù)成等比數(shù)列，那么的值為

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

7．在的展開式中，常數(shù)項等于

（A）70 （B）38 （C）-32 （D）-38

8．四面體ABCD的外接球球心在CD上，且，，在其外接球面上A、B兩點間的球面距離是

（A）（B）（C）（D）

9．已知向量，向量，曲線上一點P到的距離為6，Q為PF的中點，O為坐標原點，則

（A）5 （B）1 （C）10或2 （D）5或1

10．某班級要從6名男生、4名女生中選派6人參加某次社區(qū)服務，要求女生甲、乙要么都參加、要么都不參加，且至少一名女生參加，那么不同的選派方案總數(shù)為

（A）117 （B）107 （C）97 （D）82

11．已知點，O是坐標原點，點的坐標滿足設z為在上的投影，則z的取值范圍是

（A）（B）（C）（D）

12．已知函數(shù)．規(guī)定：給定一個實數(shù)，賦值，若x₁≤244，則繼續(xù)賦值，…，以此類推，若≤244，則，否則停止賦值．若最后得到的賦值結(jié)果為，則稱為賦值了n次．如果賦值k次后該過程停止，那么的取值范圍是

（A）（B）

（C）（D）

資陽市2008―2009學年度高中三年級第二次高考模擬考試

數(shù) 學（理工農(nóng)醫(yī)類）

第Ⅱ卷(非選擇題共90分)

題號

二

三

總分

總分人

17

18

19

20

21

22

得分

注意事項：

1．第Ⅱ卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上．

2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚．

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．把答案直接填在題目中的橫線上．

13．已知函數(shù)在R上連續(xù)，則______．

14．圖1是函數(shù)的部分圖象，則_______．

15．如圖2，已知A、D、B、C分別為過拋物線焦點F的直線與該拋物線和圓的交點，則__________．

16．設，函數(shù)，其中a∈R，常數(shù)m∈N^*，且．如果不等式在區(qū)間有解，則實數(shù)a的取值范圍是________________.

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．（本小題滿分12分）

在△ABC中，已知角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且直線l₁：與直線l₂：互相平行（其中）．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△ABC面積的最大值．

18．（本小題滿分12分）

一個口袋中裝有分別標記著數(shù)字1、2、3、4的4個球，從這只口袋中每次取出1個球，取出后再放回，連續(xù)取三次，設三次取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為隨機變量ξ．

（Ⅰ）求ξ=3時的概率；

（Ⅱ）求ξ的概率分布列及數(shù)學期望．

19．（本小題滿分12分）

如圖3，已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁C₁C是面積為的菱形，∠ACC₁為銳角，側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，且A₁B＝AB＝AC＝1．

（Ⅰ）求證：AA₁⊥BC₁；

（Ⅱ）求A₁到平面ABC的距離；

（Ⅲ）求二面角B－AC－C₁的余弦值．

20．（本小題滿分12分）

設向量，（），函數(shù)在上的最小值與最大值的和為；數(shù)列的前n項和滿足：．

（Ⅰ）求和的表達式；

（Ⅱ）令，試問：在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，都有成立？證明你的結(jié)論．

21．（本小題滿分12分）

如圖4，已知橢圓C：的左、右焦點分別是F₁、F₂，M是橢圓C的上頂點，橢圓C的右準線與x軸交于點N，且，．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B．當，且滿足時，求△AOB面積S的取值范圍．

22．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（Ⅲ）求證：

資陽市2008―2009學年度高中三年級第二次高考模擬考試

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????? 3分

∴，

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當且僅當時取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，當且僅當時�。ⅲ剑ⅲ�

故△ABC面積取最大值為．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數(shù)字最大者為3．

①三次取球均出現(xiàn)最大數(shù)字為3的概率；??????????? 1分

②三次取球中有2次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率；????? 3分

③三次取球中僅有1次出現(xiàn)最大數(shù)字3的概率．????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．?? 8分

則ξ的概率分布列為：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設O是AA₁的中點，連接BO，則BO⊥AA₁． 2分

∵側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．則，，，．??????????????????????????? 5分

設是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設A₁到平面ABC的距離為d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量． 9分

∴．????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），對稱軸方程為，故函數(shù)在[0,1]上為增函數(shù)，∴．???????????????????????? 2分

當時，．?????????????????????????? 3分

∵ ①

∴ ②

②-①得，即，?????????????? 4分

則，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．

∴，∴．?????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????? 7分

可知：當時，；當時，；當時，．

即????????????????????? 10分

可知存在正整數(shù)或6，使得對于任意的正整數(shù)n，都有成立．??? 12分

21．解：（Ⅰ）設，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．?????????????????? 2分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，．

∴橢圓的方程為．?????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????? 5分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設，

，

∴，，?????????????????? 7分

∴，

由，，．????? 8分

．??????????? 9分

（或）．

設，則，，，

令，則，

∴在時單調(diào)遞增，????????????????????? 11分

∴S關于μ在區(qū)間單調(diào)遞增，，，

∴．???????????????????????????? 12分

（或，

∴S關于u在區(qū)間單調(diào)遞增，???????????????????? 11分

∵，，．）???????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因為，，則， 1分

當時，；當時，．

∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值．???????????????????? 2分

∵函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

∴解得．??????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即為，???????????? 4分

記，∴，?? 5分

令，則，∵，∴，在上遞增，

∴，從而，故在上也單調(diào)遞增，

∴，

∴．??????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??? 8分

令則，??????????????? 9分

∴，

，

，

………

，??????????????????????? 10分

疊加得：

．???????????????????? 12分

則，

∴.???????????????????? 14

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