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    東城區(qū)2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測
     
     
    高三數(shù)學（理科）
     
    本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9
    頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。
     
    第Ⅰ卷（選擇題  共40分）
     
    注意事項：
    1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
    2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
    一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
    1．已知a＝（3，4），b＝（－6，－8），則向量a與b                                                      
（  ）
    A．互相平行       B．夾角為60°       C．夾角為30°                 D．互相垂直
    

    試題詳情
    

    2．已知集合A={x∈Z｜x2－2x－3＜0}，B＝{ x∈Zx－3｜＜2}，則集合AB等于 （  ）
    A．{2}                B．{1，2}                C．{1，2，3}          D．{0，1，2，3}
    

    試題詳情
    

    3．已知a、b為實數(shù)，則2a＞bb是log2 a＞log2 b的                             
（  ）
    A．充分非必要條件                     B．必要非充分條件
    C．充要條件                           D．既不充分也不必要條件
    

    試題詳情
    

    4．在△ABC中，∠ C＝120°，tanA+tanB＝，則tanAtanB的值為           
（  ）
    

    試題詳情
    

      A．             B．               C．               D．
    

    試題詳情
    

    5．若f（x）是偶函數(shù)，且當x∈［0，+∞）時，
f（x）＝x－1，則不等式f（x－1）＜0的解集是                                                               
（  ）
    A．{x｜－1＜x＜0}                     B．{x｜x＜0或1＜x＜2}
    C．{x｜0＜x＜2}                       D．{x｜1＜x＜2}
    

    試題詳情
    

    6．在的展開式中，常數(shù)項為15，則n的一個值可以是               
（  ）
    A．3              B．4                C．5                
 D．6
    

    試題詳情
    

    7．已知函數(shù)f（x）＝－在區(qū)間M上的反函數(shù)是其本身，則M可以是（  ）
    A．［－2，－1］     B．［－2，0］         C．［0，2］           D．［－1，0］
    

    試題詳情
    

    8．已知垂直豎在水平地面上相距20米的兩根旗桿的高分別為10米和15米，地面上的動點P到兩旗桿頂點的仰角相等，則點P的軌跡是                     
（  ）
    A．橢圓           B．圓               C．雙曲線           D．拋物線
    第Ⅱ卷（非選擇題  共110分）
    注意事項：
    

    試題詳情
    

    1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
    

    試題詳情
    

    2.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚
     
    題號
    一
    二
    三
    總分
    1～8
    9
    10
    11
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    20
    分數(shù)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    得分
    評卷人
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。
    9．已知{an}為等差數(shù)列，若a1+ a5+ a9＝，則cos（a2+ a8）的值為        ．
    

    試題詳情
    

    10．設(shè)x、y滿足約束條件則z＝2x+y的最大值是        ．
    

    試題詳情
    

    11．一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于球半徑的一半，若AB＝BC
    ＝CA＝3，則球的半徑是          ，球的體積為               
．
    

    試題詳情
    

    12．如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有        個．
    

    試題詳情
    

    13．已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F2的直線與該雙曲線的右支交于A、B兩點，若＝5，則△ABF1的周長為        
      ．
    

    試題詳情
    

    14．直線y＝2x+m和圓x2+y2＝1交于A、B兩點，以O(shè)x為始邊，OA、OB為終邊的角分
    

    試題詳情
    

    別為、，則sin（+）的值為         
．
    得分
    評卷人
     
     
     
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
    15．（本小題滿分13分）
     
    

    試題詳情
    

    已知函數(shù)f（x）＝cos2x-sin2x+2sinxcosx+1．
    （Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若f（）＝2，且a∈，求的值．
     
     
    

    試題詳情
    

    16．（本小題滿分13分）
    得分
    評卷人
     
     
     
    北京的高考數(shù)學試卷中共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個選項是正確的）．評分標準規(guī)定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其有兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其有一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這8道選擇題，試求：
    （Ⅰ）該考生得分為40分的概率；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）該考生所得分數(shù)的分布列及數(shù)學期望E．
     
    

    試題詳情
    

    17．（本小題滿分14分）
    得分
    評卷人
     
     
     
    

    試題詳情
    

    如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， AA1＝4．
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）求證：ACBC1；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）求二面角C1－AB－C的大��；
    （Ⅲ）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，
    若存在，試給出證明；若不存在，請說明理由．
    

    試題詳情
    

    18．（本小題滿分13分）
    得分
    評卷人
     
     
     
    已知函數(shù)f（x）＝1n（2－x）+ax．
    （Ⅰ）設(shè)曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2＝1相切，求a的值；
    （Ⅱ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
     
    

    試題詳情
    

    19．（本小題滿分13分）
    得分
    評卷人
     
     
     
    

    試題詳情
    

    已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且拋物線x2＝－4 y的焦點是橢圓M的一個焦點，又點A（1，）在橢圓M上．
    （Ⅰ）求橢圓M的方程；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）已知直線l的方向向量為（1，），若直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．
    

    試題詳情
    

    20．（本小題滿分14分）
    得分
    評卷人
     
     
     
    

    試題詳情
    

    已知點B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）順次為直線y＝+上的點，點A1（x1，0），A2（x2，0），…An（xn，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x1＝a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形．
    （Ⅰ）證明：數(shù)列{yn}是等差數(shù)列；
    （Ⅱ）求證：對任意n∈N*，x n+2－x n是常數(shù)，并求數(shù)列{x n}的通項公式；
    （Ⅲ）在上述等腰三角形A nB nA n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此時a的值；若不存在，請說明理由．
     
    東城區(qū)2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測
     
    

    試題詳情
    

     
    一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
    1．A    2．A    3．B    4．B    5．C    6．D    7．B    8．B
    二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
    9．－     10．5       11．2，     12．12           13．26      14．－
    注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．
    三、解答題（本大題共6小題，共80分）
    15．（本小題滿分13分）
    （Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1
    ＝2sin+1.  ……………………………………………5分
    因此f（x）的最小正周期為，最小值為－1．……………………………7分
    （Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分
    而由∈得2+∈．……………………………10分
    故2+＝．…………………………………………………………12分
    解得＝． ………………………………………………………………13分
    16．（本小題滿分13分）
    解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以得40分的概率為
    P＝×××＝． ………………………………………………5分
    （Ⅱ）依題意，該考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故求概率為P（＝20）＝×××＝；
    同樣可求得得分為25分的概率為
            
                          P（＝25）＝××××+×××+×××＝；
    得分為30分的概率為P（＝30）＝；
    得分為35分的概率為，P（＝35）＝；
    得分為40分的概率為P（＝40）＝．
    于是的分布列為
     
    20
    25
    30
    35
    40
    P
     
    ………………………………………………………………………………11分
    故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．
    該考生所得分數(shù)的數(shù)學期望為  ………………………………………13分
    17．（本小題滿分14分）
    解法一：
    （Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1底面
    ABC，BC1在底面上的射影為CB．
    由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
    所以ACBC1………………………4分
    （Ⅱ）過C作CEAB于E，連結(jié)C1E．
    由CC1底面ABC可得C1EAB．
    故∠CEC1為二面角C1－AB－C的平面角．
    在ABC中，CE＝，
                 在RtCC1E中，tanC1EC＝＝，
    故所求二面角的大小為arctan．……9分
    （Ⅲ）存在點D使AC1∥平面CDB1，且D為AB中點，下面給出證明．
    設(shè)BC1與CB1交于點O，則O為BC1中點．連接OD．
    在△ABC1中，D，O分別為AB，BC1的中點，故OD為△ABC1的中位線，
    ∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，
    ∴AC1∥平面CDB1．
    故存在點D為AB中點，使AC1∥平面CDB1．
………………………………14分
      解法二：
    ∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，
    ∴AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則
    C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
    （Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），
    ∴?＝0，故ACBC1   ………………………………………………4分
    （Ⅱ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），設(shè)平面C1AB的一個法向量為            
n＝（x0，y0，z0），
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    ＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．
    由得
    令x0＝4，則z0＝3，y0＝3．
    則n＝（4，3，3）．
    故cos＜m，n＞＝＝．
    所求二面角的大小為arccos.   ………………………………………9分
    （Ⅲ）同解法一   ………………………………………………………………………4分
    18．（本小題滿分13分）
    解：（Ⅰ）依題意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分
    因此過（1，f（1））點的直線的斜率為a－1，又f（1）＝a，
    所以，過（1，f（1））點的直線方程為y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分
    又已知圓的圓心為（－1，0），半徑為1，依題意，＝1．
    解得a＝1． …………………………………………………………………6分
    （Ⅱ）f ′（x）＝a+.
    因為a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分
    令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分
    所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，
    f（x）的單調(diào)減區(qū)間是．………………………………………13分
    19．（本小題滿分13分）
    解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為（0，－），故設(shè)橢圓方程為+＝1．
    將點A（1，）代入方程得+＝1，整理得a4－5a2+4＝0，
    解得a2＝4或a2＝1（舍）．
    故所求橢圓方程為+＝1． …………………………………………6分
    （Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為y＝x+m，設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），
    代入橢圓方程并化簡得4x2+2mx+m2－4＝0，   …………………………9分
    由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．
    由x1+x2＝-m，x1x2＝，
    故＝＝．
    又點A到BC的距離為d＝， …………………………………………11分
    故＝?d＝≤?＝，
    當且僅當2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號（滿足＞0）
    所以△ABC面積的最大值為． ………………………………………13分
    20．（本小題滿分14分）
    解：（Ⅰ）依題意有yn＝+，于是yn+1－yn＝．
    所以數(shù)列是等差數(shù)列． ………………………………………………4分
    （Ⅱ）由題意得＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①
    所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）．                
②……………………6分
    由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差數(shù)列．那么得
    x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，
    x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）
    故xn＝  ……………………………………………10分
    （Ⅲ）當n為奇數(shù)時，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；
    當n為偶數(shù)時，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；
    作BnCnx軸，垂足為Cn，則＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必須且只需＝2.
    當n為奇數(shù)時，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．     ①
    當n＝1時，a＝；當n＝3時，a＝；當n≥5時，①式無解．
    當n為偶數(shù)時，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．
    綜上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此時a的值為或 或.  ………………………………………………………………………14分
     
    
				
    
	
    
		
    


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