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    雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理科）試卷
     
    本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時量120分鐘.
    第Ⅰ卷（選擇題）
    一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
    1．已知集合，則是的    （   ）
           A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件
           C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件
    

    試題詳情
    

    2．下列函數(shù)中周期為1的奇函數(shù)是                                           
（   ）
    

    試題詳情
    

    A                   B 
   
    

    試題詳情
    

    C                        D 

    

    試題詳情
    

    3．下列不等式中恒成立的個數(shù)有                                                                           （   ）
    

    試題詳情
    

           ①                                 ②
    

    試題詳情
    

           ③             ④
           A  4                        B  3                        C  2                        D  1
    

    試題詳情
    

    4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數(shù)為                      （   ）
           A  600                        B  300                        C  100                        D  60
    

    試題詳情
    

    5．已知的前n項(xiàng)和                
（
  ）
    A  67           
     B  65                C  6l           
      D  56
    

    試題詳情
    

    6．對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個命題：
    ①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
    

    試題詳情
    

    ②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
    ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．
    其中真命題的個數(shù)為                                  
                 （   ）
    A  0               
B  1                 C  2            
D  3
    

    試題詳情
    

    7．如圖,設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部,且有,則的面積與的面積的比為                                                             
（   ）
    

    試題詳情
    

    A  2            
B              
    

    試題詳情
    

    C  3            
D   
    

    試題詳情
    

    8． 已知點(diǎn)P 是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                          
（   ）
    

    試題詳情
    

       
A  5             
B  4                
 C              D

    

    試題詳情
    

    


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              試題詳情
              

              A  
              

              試題詳情
              

              B  
              

              試題詳情
              

              C  
              

              試題詳情
              

              D  
              

              試題詳情
              

              10．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2003個數(shù)是                                                 
（   ）
              A  3844              B  3943                 C 
3945                 D  4006
               
              

              試題詳情
              

              二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.
              11．某校為了了解高三年級學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從全段600名學(xué)生中抽取60名進(jìn)行體檢，如果在抽取的學(xué)生中有男生36名，則在高三年級中共有女生      名．
              

              試題詳情
              

              12．，則               
 
              

              試題詳情
              

              13．通過兩個定點(diǎn) 且在軸上截得的弦長等于的圓的方程是      
              

              試題詳情
              

              14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.
              

              試題詳情
              

              （）當(dāng)滿足條件           時，m∥β；
              

              試題詳情
              

              （）當(dāng)滿足條件           時，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號）
              

              試題詳情
              

              15．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，對任意，，有，，則
              

              試題詳情
              

              （）    
  ；
              

              試題詳情
              

              （）若記，那么         
               
              

              試題詳情
              

              三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
              16．（本小題滿分12分）
              

              試題詳情
              

              已知△ABC的三邊成等比數(shù)列，且， 
              

              試題詳情
              

              （Ⅰ）求；                 

              

              試題詳情
              

              （Ⅱ）求的面積。
               
              

              試題詳情
              

              17．（本小題滿分12分）
              

              試題詳情
              

              　　設(shè)輪船有兩個發(fā)動機(jī)，輪船有四個發(fā)動機(jī)，如果半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動機(jī)沒有故障，輪船就能夠安全航行．現(xiàn)設(shè)每個發(fā)動機(jī)發(fā)生故障的概率是的函數(shù)：（其中為發(fā)動機(jī)啟動后所經(jīng)歷的時間,為正常數(shù)，每個發(fā)動機(jī)工作相互獨(dú)立）．
              

              試題詳情
              

              （Ⅰ）分別求出輪船安全航行的概率（用表示）；
              

              試題詳情
              

              （Ⅱ）根據(jù)時間的變化，比較輪船和輪船哪一個更能安全航行（除發(fā)動機(jī)發(fā)生故障外，不考慮其他因素）．
               
              

              試題詳情
              

              18．（本小題滿分12分）
              

              試題詳情
              

              如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.
              

              試題詳情
              

              （Ⅰ）求二面角的大��；
              

              試題詳情
              

              （Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；
              

              試題詳情
              

              19．（本小題滿分13分）
              如圖所示，某校把一塊邊長為2a的等邊△ABC的邊角地(如圖)辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.
              （Ⅰ）設(shè)AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；?
              （Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里?如果DE是參觀線路，即希望它最長，DE的位置又應(yīng)該在哪里?請給予證明.?
              

              試題詳情
              

               
               
               
               
               
              

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              20．（本小題滿分13分）
              

              試題詳情
              

              如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對應(yīng)的準(zhǔn)線，直線與軸交于點(diǎn)，線段為橢圓的長軸，已知，且．
              

              試題詳情
              

              （Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；
              

              試題詳情
              

              （Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．
               
               
               
               
              

              試題詳情
              

              21．（本小題滿分13分）
              

              試題詳情
              

              已知點(diǎn)是且
              

              試題詳情
              

              （Ⅰ）求的定義域；
              

              試題詳情
              

              （Ⅱ）求證：；
              

              試題詳情
              

              （Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項(xiàng)和
               
               
               
              

              試題詳情
              

               
              一、選擇題：ADBAA    BCCDB
              二、填空題
              11.;        12． ;         
13． 
              14．（）③⑤  （）②⑤
             15． （）；    （） 0 
              三、解答題：
              16．解：（1）
                                                                              …………5分
              由成等比數(shù)列，知不是最大邊
                                                                  …………6分
              （2）由余弦定理
              得ac=2                                                                                                        …………11分
              =                                                                          …………12分
              17.解：（Ⅰ）．
              （Ⅱ）．
              1當(dāng)時，則．此時輪船更安全．
              2當(dāng)時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
              3當(dāng)時，則．此時輪船更安全．
              解：方法一
              （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
              在△中，，，，
              由余弦定理有
              ，
              所以二面角的大小是.（6分）
              （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
              故.                            
…（12分）
               
              19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?
              ∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
              ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?
              解得AE＝，?
              在△ADE中，由余弦定理:?
              y2＝x2＋?cos60°，?
              ∴y2＝x2＋－2a2
              ∴y＝  (a≤x≤2a)?
              （Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2
              且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
              當(dāng)t∈（a2，2a2）時，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
              f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
              ＝（t1－t2）?，?
              ∵a2＜t1＜t2＜2a2?
              ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
              ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
              ∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?
              同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?
              又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當(dāng)t＝2a2時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當(dāng)t＝a2或4a2時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且ymax＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
               
              20.解：（Ⅰ）∵，∴，
              又∵，∴，
              ∴，
              ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                     
………（3分）
              當(dāng)的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
              當(dāng)的斜率不為0時，設(shè)方程為，
              代入橢圓方程整理得：．
              ，，．
              則
                       
，
              而
              ∴，從而． 
              綜合可知：對于任意的割線，恒有．               
………（8分）
              （Ⅱ），
              即：，
              當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時適合于的條件）取到等號．
              ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）
              21.解：（Ⅰ）由
              故x>0或x≤－1
              f(x)定義域?yàn)?sub>                         
…………………………（4分）
              （Ⅱ）
              下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：
              ①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
              ②假設(shè)n=k時成立，
              由
              要證明：
              只需
              只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
              只需1≤4k2+2k
              而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
              只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
              于是：
              因此得證.
              綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                    
………………9分
              （Ⅲ）要證明：
              由（2）可知只需證：
              …………（**）
              下面用分析法證明：（**）式成立。
              要使（**）成立，只需證：
              即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
              只需證：2n>1
              而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
              于是由（**）式可知有：
              因此有：
                                  
……………………………………（13分）