理科數(shù)學(xué)試題卷 第頁(yè)(共8頁(yè)
上饒市2008－2009學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試
理科數(shù)學(xué)試題卷
命題人：黎金傳 何耀煌 席米有 董樂華
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.
參考公式
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
P(A?B)＝P(A)?P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 V＝πR3
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
Pn(k)＝CPk(1－P)n－k
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)z＝(其中i為虛數(shù)單位)，則|z＋1|等于
A.0 B
2.已知{an}為等差數(shù)列，a1＝15，S5＝55，則過(guò)點(diǎn)P(3，a2)，Q(4，a4)的直線的斜率為
A.4 B. C.－4 D.－
3.(x－)9的展開式的第3項(xiàng)是
A.－84x3 B.84x
4.函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象按向量a平移后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，0)中心對(duì)稱，則向量a的坐標(biāo)可能為
A.(－，0) B.(－，0) C.(，0) D.(，0)
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5.如圖，在△ABC中，tan ＝，?＝0，則過(guò)點(diǎn)C，以A，H為兩焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為
A. B
6.將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，異面直線AD與BC所成的角為
A. B. C. D.
7.若直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A.至多一個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
8.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足：f′(0)>0，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有
f(x)≥0，則的最小值為
A. B
9.已知平面α與β所成的角為80°，P為α，β外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與α，β所成角都是30°，則這樣的直線有且僅有
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
10.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，過(guò)點(diǎn)(1，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，則m的取值范圍是
A.(－3，－2) B.(－2,3) C.(－1,2) D.(－1,1)
11.若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)的和不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱n為“可連續(xù)”.例如：32是“可連續(xù)”，因32＋33＋34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連續(xù)”，因23＋24＋25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.如果自然數(shù)n∈(1000,10000)，那么，“可連續(xù)”自然數(shù)n的個(gè)數(shù)為
A.27 B
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12.如圖，有一面墻(墻的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng))，在墻邊P、Q處各有一棵樹與墻的距離均為
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第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫在題中橫線上.
13.△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知B＝60°，不等式－x2＋6x－8>0的解集為{x|a<x<c}，則b＝ .
14.已知集合A＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤1，x，y∈R，(a，b)∈A}，則集合B所表示的圖形的面積是 .
15.已知＋＝1(m>0，n>0)，當(dāng)mn取得最小值時(shí)，直線y＝－x＋2與曲線＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
16.對(duì)一切實(shí)數(shù)x，令[x]為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝[x]稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù).若an＝f()，n∈N*，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則＝ .
三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知a＝(2cos ，tan(＋))，b＝(sin(＋)，tan(－))，令f(x)＝a?b.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若x∈[0，)時(shí)，f(x)－m>1恒成立，求m的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)
美國(guó)次貸危機(jī)引發(fā)2008年全球金融動(dòng)蕩，波及中國(guó)股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之際“抄底”.若四人商定在圈定的6只股票中各自隨機(jī)購(gòu)買一只(假定購(gòu)買時(shí)每支股票的基本情況完全相同).
(1)求甲、乙、丙、丁四人恰好買到同一只股票的概率；
(2)求甲、乙、丙、丁四人中至多有兩人買到同一只股票的概率；
(3)由于國(guó)家采取了積極的救市措施，股市漸趨“回暖”.若某人今天按上一交易日的收盤價(jià)20元/股，買入某只股票1000股(10手)，且預(yù)計(jì)今天收盤時(shí)，該只股票比上一交易日的收盤價(jià)上漲10%(漲停)的概率為0.6.持平的概率為0.2，否則將下跌10%(跌停)，求此人今天獲利的數(shù)學(xué)期望(不考慮傭金，印花稅等交易費(fèi)用).
19.(本小題滿分12分)
如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC－A1B
(1)求棱A1B1與平面AB
(2)已知D點(diǎn)滿足＝＋，在直線AA1上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB
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20.(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列{an}滿足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng).
(1)分別求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式an，bn；
(2)設(shè)Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，若Tn＋－<c(c∈Z)恒成立，求c的最小值.
21.(本小題滿分12分)
標(biāo)準(zhǔn)橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，M(，1)在橢圓上，且?＝0.
(1)求橢圓方程；
(2)若N在橢圓上，O為原點(diǎn)，直線l的方向向量為，若l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且NA、NB與x軸圍成的三角形是等腰三角形(兩腰所在的直線是NA、NB)，則稱N點(diǎn)為橢圓的特征點(diǎn)，求該橢圓的特征點(diǎn).
22.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2－2x(a<0).
(1)若函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
(2)若a＝－且關(guān)于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(3)設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝ln an＋an＋2，n∈N*，求證：an≤2n－1.
理科數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題 BCDC BCBD DADC
二、填空題 13.2 14.12＋π 15.2 16.100
三、解答題
17.解：當(dāng)±≠kπ＋時(shí)，1分
有：f(x)＝2sin(＋)?cos ＋tan(＋)?tan(－)
＝sin x＋2cos2－1＝sin x＋cos x＝sin(x＋).4分
(1)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得2kπ－≤x≤2kπ＋.
又由±≠kπ＋，得x≠2kπ±.6分
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是：[2kπ－，2kπ－)，(2kπ－，2kπ＋](k∈Z).8分
(2)當(dāng)x∈[0，)時(shí)，x＋∈[，)，則sin(x＋)有最小值.10分
此時(shí)f(x)min＝1，故由題意得1－m>1⇒m<0.12分
18.解：(1)四人恰好買到同一只股票的概率P1＝6××××＝.4分
(2)(法一)四人中有兩人買到同一只股票的概率P2＝＝.
四人中每人買到不同的股票的概率P3＝＝＝.
所以四人中至多有兩人買到同一只股票的概率P＝P2＋P3＝＋＝＝.8分
(法二)四人中有三人恰好買到同一只股票的概率P4＝＝＝.
所以四人中至多有兩人買到同一只股票的概率P＝1－P1－P4＝＝.8分
(3)每股今天獲利錢數(shù)ξ的分布列為：
ξ
2
0
－2
P
0.6
0.2
0.2
所以，10手股票在今日交易中獲利錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望為
1000Eξ＝1000×[2×0.6＋0×0.2＋(－2)×0.2]＝800.12分
19.解：(法一)(1)∵AC1＝2，∴∠A
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.2分
則A(0，－1,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，C(0,1,0)，B1(，1，).
∴＝(，1,0)，＝(，2，)，＝(0,2,0).
設(shè)平面AB
由cos〈，n〉＝－得：棱A1B1與平面AB
(2)設(shè)存在點(diǎn)P符合，且點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為P(0，y，z)，7分
＝＋＝(－2，0,0)，∴D(－，0,0).
∴＝(，y，z).平面AB
∴?n＝0，得z＝，由＝λ得：∴y＝0，∴P(0,0，).10分
又DP⊄平面AB
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(法二)(1)如圖可得，B
∴AB1＝，AC＝2，∴AC⊥B
設(shè)B到平面AB
設(shè)棱AB與平面AB
又AB∥A1B1，∴A1B1與平面AB
(2)＝＋，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴＝＝，8分
∴CDA1B1是平行四邊形.∴A1D∥B
又A1D⊄面AB
∴A1D∥平面AB
20.解：(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的公差與公式.
由題意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)是2,2＋d,4＋2d，
∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d＝±2.2分
∵an＋1>an，∴d>0.∴d＝2，∴an＝2n－1(n∈N*).4分
由此可得b1＝2，b2＝4，q＝2，∴bn＝2n(n∈N*).5分
(2)Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，①
當(dāng)n＝1時(shí)，Tn＝＋＋＋…＋. ②
①－②，得：Tn＝＋2(＋＋…＋)－＝＋(1－)－.
∴Tn＝3－－＝3－.9分
∴Tn＋－＝3－<3.10分
∴滿足條件Tn＋－<c(c∈Z)恒成立的最小整數(shù)值為c＝3.12分
21.解：(1)在Rt△F1MF2中，|OM|＝＝2知c＝2，
則解得a2＝6，b2＝2，∴橢圓方程為＋＝1.4分
(2)設(shè)N(m，n)(m≠0)，l為y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝x＋t與＋＝1得(＋)x2＋tx＋－1＝0，6分
由點(diǎn)N(m，n)在橢圓上知，＋＝代入得＋tx＋－1＝0，
∴x1＋x2＝－mnt，x1x2＝m2(－1)，①8分
∴kNA＋kNB＝＋＝
＝
將①式代入得kNA＋kNB＝，
又∵NA、NB與x軸圍成的三角形是等腰三角形得kNA＋kNB＝0，10分
∴n2＝1代入＋＝1得m2＝3，∴N(±，±1).12分
22.解：(1)f′(x)＝－(x>0).依題意f′(x)<0在x>0時(shí)有解，即ax2＋2x－1>0在x>0有解.則Δ＝4＋
此時(shí)，－1<a<0.4分
(2)a＝－，f(x)＝－x＋b⇔x2－x＋ln x－b＝0.
設(shè)g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)，則g′(x)＝.列表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,4)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
極大值
?
極小值
?
∴g(x)極小值＝g(2)＝ln 2－b－2，g(x)極大值＝g(1)＝－b－，g(4)＝－b－2＋2ln 2.6分
∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則解得：ln 2－2<b≤－.9分
(3)設(shè)h(x)＝ln x－x＋1，x∈[1，＋∞)，則h′(x)＝－1≤0，
∴h(x)在[1，＋∞)為減函數(shù)，且h(x)max＝h(1)＝0，故當(dāng)x≥1時(shí)有l(wèi)n x≤x－1.
∵a1＝1，假設(shè)ak≥1(k∈N*)，則ak＋1＝ln ak＋ak＋2>1，故an≥1(n∈N*).
從而an＋1＝ln an＋an＋2≤2an＋1，∴1＋an＋1≤2(1＋an)≤…≤2n(1＋a1).
即1＋an≤2n，∴an≤2n－1.14分
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