2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）
文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共12小題，每小題5分，共60分）．
2．已知全集，集合，，則集合（ D ）
A． B． C． D．
解：，所以
3．某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（ C ）
A．30 B．25 C．20 D．15
解：設(shè)樣本中松樹苗的數(shù)量為，則
4．已知是等差數(shù)列，，，則該數(shù)列前10項和等于（ B ）
A．64 B．100 C．110 D．120
解：設(shè)公差為，則由已知得
5．直線與圓相切，則實數(shù)等于（ C ）
A．或 B．或 C．或 D．或
解：圓的方程，圓心到直線的距離等于半徑或者
6．“”是“對任意的正數(shù)，”的（ A ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解：，顯然也能推出，所以“”是“對任意的正數(shù)，”的充分不必要條件。
7．已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若（），則的值為（ D ）
A．10 B．4 C．1 D．
解：于是
8．長方體的各頂點都在半徑為1的球面上,其中,則兩點的球面距離為 ( C )
A． B． C． D．
解：設(shè)則
即，在中，
從而點的球面距離為
9．雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
解：如圖在中，
，
10．如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內(nèi)的射影分別是和，若，則（ D ）
C． D．
解：由勾股定理，又，
，,而，所以，得
11．定義在上的函數(shù)滿足（），，則等于（ A ） A．2 B．3 C．6 D．9
解：令，令；
令得
12．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是（ C ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
解：C選項傳輸信息110，，應(yīng)該接收信息10110。
13．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 ．
解： 由正弦定理，于是
二、填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共4小題，每小題4分，共16分）．
14．的展開式中的系數(shù)為 84 ．(用數(shù)字作答)
解：，令，
因此展開式中的系數(shù)為
15．關(guān)于平面向量．有下列三個命題：
①若，則．②若，，則．
③非零向量和滿足，則與的夾角為．
其中真命題的序號為 ② ．（寫出所有真命題的序號）
解：①，向量與垂直
②
③構(gòu)成等邊三角形，與的夾角應(yīng)為
所以真命題只有②。
16．某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 96 種．（用數(shù)字作答）．
解：分兩類：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案種
17．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共74分）
當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函數(shù)是偶函數(shù)．
18．（本小題滿分12分）
一個口袋中裝有大小相同的2個紅球,3個黑球和4個白球,從口袋中一次摸出一個球,摸出的球不再放回.
（Ⅰ）連續(xù)摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出紅球,則停止摸球,求摸球次數(shù)不超過3次的概率．
解：（Ⅰ）從袋中依次摸出2個球共有種結(jié)果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 種結(jié)果，則所求概率 ．
（Ⅱ）第一次摸出紅球的概率為，第二次摸出紅球的概率為，第三次摸出紅球的概率為，則摸球次數(shù)不超過3次的概率為 ．
19．（本小題滿分12分）
三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．
（Ⅱ）求二面角的大�。�
解：解法一：（Ⅰ）平面平面，
．在中，，
，，又，
，，即．
平面，平面平面．
（Ⅱ）如圖，作交于點，連接，
由已知得平面．
是在面內(nèi)的射影．
由三垂線定理知，
為二面角的平面角．
過作交于點，
則，，．
在中，．
在中，．，
即二面角為．
則，
，．
點坐標(biāo)為．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，取為平面的法向量，
設(shè)平面的法向量為，則．
，如圖，可取，則，
，
即二面角為．
20．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的首項，，…．
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列的前項和．
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
設(shè)…， ①
則…，②
由①②得
，
．又…．
數(shù)列的前項和 ．
21．（本小題滿分12分）
已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．
（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
解：解法一：（Ⅰ）如圖，設(shè)，，
把代入得，
，點的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線在點處的切線的方程為，
將代入上式得，
直線與拋物線相切，
，．
即．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)，使，則，又是的中點，
．
由（Ⅰ）知
．
軸，．
又
．
，解得．即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如圖，設(shè)，把代入得
．由韋達(dá)定理得．
，點的坐標(biāo)為．，，
拋物線在點處的切線的斜率為，．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)，使．
由（Ⅰ）知，則
，
，，解得．
即存在，使．
22．本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)其中實數(shù)．
（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個公共點且存在最小值時，記的最小值為，求的值域；
（Ⅲ）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍．
解：（Ⅰ） ，又，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意知 ，
即恰有一根（含重根）． ≤，即≤≤，
又， ．
當(dāng)時，才存在最小值，． ，
． 的值域為．
（Ⅲ）當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得，解得≥；
當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得，解得≤；
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．
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