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    2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）
    數(shù)學（理科）
     
    本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
    注意事項： 1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
    2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
    3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
    4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．
    5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
     
    參考公式：如果事件互斥，那么．
    已知是正整數(shù)，則 ．
     
    一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
    1．已知，復數(shù)的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（    ）
    

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    A．             B．             C．              D．
     
     
    

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    2．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（    ）
    A．16              B．24                C．36                   D．48
     
     
     
    一年級
    二年級
    三年級
    女生
    373
    

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    男生
    377
    370
    

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    3．某校共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表1．已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數(shù)為（    ）
    A．24           B．18              
C．16              D．12                           表1        
     
     
    

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    4．若變量滿足則的最大值是（   ）
    A．90            B．80                C．70              D．40
    

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    5．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（    ）
    

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    6．已知命題所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是（
  ）
    

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    A．          B．             C．        D．
     
     
    

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    7．設，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（    ）
    

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    A．                 B．             C．                D．
     
     
    

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    8．在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（    ）
    

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    A．      B．         C．              D．
     
     
    （一）必做題（9~12題）
    

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    二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
    

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，         
．
    

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    （注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）
     
     
     
    

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    10．已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于
    

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    120，則        
．
     
     
    

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    11．經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直
    的直線方程是           ．
     
     
    

    試題詳情
    

    12．已知函數(shù)，，則的
    最小正周期是         
．
     
     
     
    

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    二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
    13．（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為         
．
     
     
    

    試題詳情
    

    14．（不等式選講選做題）已知，若關于的方程有實根，則的取值范圍是             ．
     
     
    

    試題詳情
    

    15．（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點為，．是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑          
．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
    16．（本小題滿分13分）
    

    試題詳情
    

    已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點．
    

    試題詳情
    

    （1）求的解析式；
    

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    （2）已知，且，，求的值．
     
     
     
     
    

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    17．（本小題滿分13分）
    

    試題詳情
    

    隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為．
    （1）求的分布列；
    

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    （2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即的數(shù)學期望）；
    

    試題詳情
    

    （3）經(jīng)技術革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    18．（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．
    （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
    

    試題詳情
    

    （2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    19．（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    設，函數(shù)，，，試討論函數(shù)的單調(diào)性．
     
     
     
    

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    20．（本小題滿分14分）
    

    試題詳情
    

    如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點，且，過點作的平行線交于．
    

    試題詳情
    

    （1）求與平面所成角的正弦值；
    

    試題詳情
    

    （2）證明：是直角三角形；
    

    試題詳情
    

    （3）當時，求的面積．
     
     
     
     
    

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    21．（本小題滿分12分）
    

    試題詳情
    

    設為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足，，（…）．
    

    試題詳情
    

    （1）證明：，；
    

    試題詳情
    

    （2）求數(shù)列的通項公式；
    

    試題詳情
    

    （3）若，，求的前項和．
     
     
    絕密★啟用前                    
              試卷類型B
    2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)
    

    試題詳情
    

     
    一、選擇題：C D C C     A D B B
    1．C【解析】，而，即， 
    2．D【解析】，，故
    3．C【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數(shù)應該是，即總體中各個年級的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數(shù)為
    4．C  5．A
    6．D【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題
    7．B【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時，顯然有，此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為。
    8．B       
     
    二、填空題： 
    9．【解析】要結束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時也整除，那么的最小值應為和的最小公倍數(shù)12，即此時有。
    10．【解析】按二項式定理展開的通項為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。
    11．【解析】易知點C為，而直線與垂直，我們設待求的直線的方程為，將點C的坐標代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。
    12．【解析】，故函數(shù)的最小正周期。
     
    二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
    13．【解析】由解得，即兩曲線的交點為。
    14．
    15．【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質我們有,即。
     
    三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
    16．解：（1）依題意有，則，將點代入得，而，，，故；
    （2）依題意有，而，
    ，
    。
     
    17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
    ，
    故的分布列為：
    6
    2
    1
    -2
    0.63
    0.25
    0.1
    0.02
    （2）
    （3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為
    依題意，，即，解得
    所以三等品率最多為
     
    18．解：（1）由得，
    當得，G點的坐標為，
    ， ，
    過點G的切線方程為即，
    令得，點的坐標為，
    由橢圓方程得點的坐標為，即，
    即橢圓和拋物線的方程分別為和；
    （2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,
    以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。
    若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 
    。
    關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，
    因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。
     
    19．解： ，
    對于，
    當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；
    當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
    對于，
    當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；
    當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。
     
    20．解：（1）在中，
    ，
    而PD垂直底面ABCD，
    ,
    在中，,即為以為直角的直角三角形。
    設點到面的距離為,
    由有,
    即 ，
    ;
    (2),而,
    即,，,是直角三角形；
    （3）時,,
    即,
    的面積
    21．解：（1）由求根公式，不妨設，得
    ，
    （2）設，則，由
    得，，消去，得，是方程的根，
    由題意可知，
    ①當時，此時方程組的解記為
    即、分別是公比為、的等比數(shù)列，
    由等比數(shù)列性質可得,,
    兩式相減，得
    ，，
    ，
    ，即，
    ②當時，即方程有重根，，
    即，得，不妨設，由①可知
    ，，
    即，等式兩邊同時除以，得，即
    數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
    綜上所述，
    （3）把，代入，得，解得
    
				
    
	
    
		
    


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