2009屆北京先知文化中心模擬卷
數(shù)學(xué)試題（三）
（試卷總分150分 考試時(shí)間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）
1．設(shè)全集，，則（ ）
A． B． C． D．學(xué)
2．（理）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為（ ）
A．1 B． C． D．
2.解：，故選B。
（文）若向量，則（ ）
A． B． C． D．
3.不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
４．若定義在R上的函數(shù)滿足，且，則可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知數(shù)列，滿足，則以點(diǎn)、為直徑端點(diǎn)的圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（ ）
A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．為定值
7．（理）設(shè)，則它的值屬于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
（文）（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
8．建陵中學(xué)高一A班有學(xué)生40名，其中男生24人，B班有學(xué)生50名，其中女生30人，現(xiàn)從A、B兩班各找一名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則找出的學(xué)生是一男一女的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知、是兩條不重合的直線，、是兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：
①若，，則； ②若，，則；
③若，，，則； ④若，，，則.
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）個(gè)
A．1 B．2 C． 3 D．4
10．（理）設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、
B、C三點(diǎn)共線，則的最小值是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（文）設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A、B、
C三點(diǎn)共線，若∶=1∶2，則，的值分別是（ ）
A． B． C． D．
11．（理）設(shè)是曲線：的焦點(diǎn)，是曲線：與的一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（ ）
A．等于零 B． 大于零 C．小于零 D．以上三種情況都有可能
（文）設(shè)是曲線：的焦點(diǎn)，是曲線：與的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．以上三種情況都有可能
12．（理） ，則…＝（ ）．
A． B． C． D．
12．（文）在三角形ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，則=是三角形ABC為等腰直角三形的（ ）條件。
A．充分且必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分， 請(qǐng)把正確的答案填寫(xiě)在各小題的橫線上。)
13． （理） 。
（文） 。
14．設(shè)是偶函數(shù)，則的值為 。
15．已知函數(shù)，，則函數(shù)
在區(qū)間上的最小值為 。
16．（理）已知數(shù)列對(duì)于任意的，滿足，
則當(dāng) 時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)，且…
。
（文）已知數(shù)列對(duì)于任意的，滿足且，
那么 。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）．
17．（本小題滿分10分）
在△中，角所對(duì)的邊分別為，．
(I)．試判斷△的形狀；
(II)．若△的周長(zhǎng)為16，求面積的最大值．
18（本小題滿分12分）．
中央電視臺(tái)《同一首歌》大型演唱會(huì)即將于近日在西部某市舉行，甲、乙兩人參加大會(huì)青年志愿者的選拔．已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題。規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才能入選．
（Ⅰ）求甲、乙兩人至少有一人入選的概率．
（Ⅱ）（理）求甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（文）問(wèn)：甲、乙兩人誰(shuí)入選的概率大？
19．（本小題滿分12分）
如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
（1）求證：//平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的正切值。
（4）（理）求三棱錐的體積．
（文）求三棱錐的體積．
20. （本小題滿分12分）
在等差數(shù)列中，公差d≠0，，，，成等比數(shù)列．
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(II)（文）若數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，求證：<1
（理）若數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，
試用數(shù)學(xué)歸納法證明：。
21（本小題滿分12分）
函數(shù)的定義域?yàn)镈：，對(duì)任意有，有
。
（1）求的值；（2）判斷的奇偶性并證明。
（3）（理）如果，且在上是增函數(shù)，求的取值范圍。
22．（本題滿分12分）
（理）在直角坐標(biāo)平面中，△的兩個(gè)頂點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為
兩動(dòng)點(diǎn)向量
（Ⅰ）求△的頂點(diǎn)C的軌跡；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)C的軌跡相交于E、F兩點(diǎn)，求?的取值范圍；
（Ⅲ）若軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)λ（λ>0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（文） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，離心率等于。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若=λ1，=λ2，求證λ1+λ2為定值.
參 考 答 案
1.解：∵ 或，∴。故選B。
2.解：，故選B。
3.解：，故選B。
4.解：∵，∴排除A、B，又∵，∴選D
5.解：，，從而，，因此圓的方程為：
，即，故選A。
6.解：∵，，∴，故選A。
7．（理）解：，，
∴，故選B。
（文）解：，故選A。
8.解：找出的學(xué)生是一男一女的概率為，故選B。
9.解：①④正確，②③不正確，故選B。
10.解：（理），。
又∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴∥，從而，即，
，故選B。
（文），。
又∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴∥，從而，即，
∵∶=1∶2，∴，因而得，故選A。
11．解（理）設(shè)，，從而，
，所以，從而，故選A。
（文）設(shè)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，則，，，
又由解得，，所以，故選A。
12. 解：（理）
．
∴…＝…
．故選A。
（文）由=,只能得知三角形ABC為等腰角三形，但不能判定三角形ABC為直角三角形，所以充分性不具備。
若三角形ABC為等腰直角三形，也不一定必有=，如可以是=∠Ｃ，角B為直角，所以必要性也不具備。故選擇D。
13.解：。
（文）。
14.解：∵是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋?/p>
∴，對(duì)于恒成立，
從而，
，
，對(duì)于恒成立，∴。
15.解：∵，又∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故。
16.解（理）∵當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，
從而，又，∴，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)；
…
。
（文）∵當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，
從而，又，∴，。
17.解：(Ⅰ)． ，
∴，∵，∴，即，
所以此三角形為直角三角形. ……5分
(Ⅱ)．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)面積的最大值為．
………………10分
18.解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則
P(A)==， P(B)= ．
因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，
∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為 ，
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 ．
答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為． ……6分
（Ⅱ）（理）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)ξ的可能取值為0、1、2、3，則
， ，
， ，
其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
甲答對(duì)試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望
Eξ=． ……12分
（文）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)==， P(B)=，。
答：乙入選的概率大�！�12分
19.證明：（1）連結(jié)，在中，、分別為，的中點(diǎn)，則
……3分
（2）方法一：
……6分
方法二：以、、的方向分別為、、軸的方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、的坐標(biāo)分別為、、、，
∴，，從而，
因而，即。
（3）∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，且為正方形，∴，
又平面，∴，
而，∴平面，
又平面，∴，故為二面角的平面角，
在中，，，∴，
因而二面角的正切值為。 ……9分
（4）（理）
且
，
∴即
=
= ……12分
（文），，。
……12分
20.解：(I)數(shù)列的公差為d，則
∵a1，a3，a7成等比數(shù)列，∴，得d=0(舍去)或d=1
∴。 ……5分
(Ⅱ)（文）由（Ⅰ）知
∴＜1
……12分
（理）證明：（1）當(dāng)時(shí)，，又，等式成立。
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，
那么，當(dāng)時(shí)，
=
，即時(shí)，等式也成立。
由（1），（2）得對(duì)一切都有成立。 ……12分
21.解：（1）令，有，解得。（文） ……5分
（理） ……3分
（2）為定義域?yàn)镈上的偶函數(shù)。
證明：令，，解得。
令，，有，∴。
又∵的定義域?yàn)镈：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴為偶函數(shù)。 （文）……12分
（理）……7分
（3）（理），。
∴，即 ①
∵在上是增函數(shù)，
∴①等價(jià)于不等式組：或，
或，∴或，
或。
故的取值范圍為，或或 （理） ……12分
22．解：（理）（1）設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為
△ABC的重心，故可得M為
又
而
整理得，，即C點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線但不包括兩個(gè)頂點(diǎn)�！�4分
（2）設(shè)()
(當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意）
代入①
或或，
或或，
而x1,x2是方程①的兩根，
故的取值范圍為 ……8分
（3）設(shè)
當(dāng)
故猜想存在λ=2，使∠QHG=λ∠QGH總成立.
當(dāng)QH不垂直x軸時(shí)，，。
∴
又∵2∠QGH與∠QHG同在（0，）∪（，π）內(nèi)，∴2∠QGH=∠QHG.
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立. ……12分
解：（文）（I）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.
∴橢圓C的方程為 ……5分
（II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.
∴
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得
去分母整理得
同理，由可得
是方程的兩個(gè)根，
……12分
方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.
顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得
又
……12分
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