2009屆深圳市第二實驗學校高三模擬考試一
數學(理科)
參考公式：錐體的體積公式
，其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的。
1．設集合
，則滿足
的集合
的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．
2．在等比數列
中，已知
，那么
（ ）
2．
A．4
B．6
C．12
D．16
3． 3．在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若其中一個小長方形的面積等于其他10個小長方形面積和的四分之一，樣本容量為160，則該小長方形這一組的頻數為（ ）
4．
A ．３２ B．
C．４０ D．
4．若
，則
大小關系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是（ ）
A．27 B．30 C．33 D．36
6．在
中，分別為三個內角
所對應的邊，設向量
，
，若
，則角
的大小為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函數
的圖象恒過定點，若點在直線
上，其中
，則
的最小值為（ ）
A．2
B．
D．
8．若直線
與圓
交于
兩點,且關于直線
對稱,動點P
在不等式組
表示的平面區(qū)域內部及邊界上運動，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9．在可行域內任取一點規(guī)范如框圖所示，則能輸出數對
的概率是 ．
10．如果復數
，則
的展開式（按
的升冪排列）的第5項是
。
11、已知
，則
=
。
12．已知直線
與圓
交于
兩點，且
，其中
為坐標原點，則實數
的值為_________________。
13．（坐標系與參數方程選做題）極坐標內曲線
的中心與點
的距離為 ．
14．(不等式選講選做題)函數
15．（幾何證明選講選做題）如圖，DA，CB，DC與以AB為直徑的半圓分別
相切于點A、B、E，且BC：AD=1：2，CD=
則四邊形ABCD的面積等于
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16、(本題滿分12分) 在△ABC中，
為三個內角
為三條邊，
且
（1）判斷△ABC的形狀； （2）若
，求
的取值范圍
17．（本小題滿分12分）
如圖, 在正方體
―
中, 
為
的中點．
（１）證明：平面
平面
；
（２）求
與平面
所成角的大小的正弦值．
18．（本小題滿分14分）
一袋中裝有分別標記著1、2、3、4數字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續(xù)取三次, 設三次取出的球中數字最大的數為
.
（１）求
時 的概率；（２）求的概率分布列及數學期望.
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且拋物線
的焦點是橢圓M的一個焦
點，又點
在橢圓M上。
（I）求橢圓M的方程；
（II）已知直線l的方向向量為
與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值。
20．（本小題滿分14分）
已知函數
，過該函數圖象上任意一點
（１）證明：
圖象上的點總在
圖象的上方；
（２）若
上恒成立，求實數的取值范圍．
21．（本小題滿分14分）
已知數列
滿足：
，且
．求證：
（１）數列
為等比數列；（２）
．
（一）
一、選擇題
1~8：CAAD BBBD
二、填空題
9、
10、35
11、
12、
13、
14、10
15、
三、解答題
16、解：（1）由
及正弦定理有：
∴
或
……….2分
若，且
，
∴
，
；
……….4分
∴
，則
，∴
三角形．
……….6分
（2）∵ 
，∴
，
∴
，而
，
……….8分
∴
，∴
，∴
．
……….12分
17解：（１）取
的中點
的中點
連結
平面
, 
.
又
, 
平面
．……………………………3分
,
四邊形
是平行四邊形, 
平面
又
平面
, 平面
平面 ………………………………6分
（２）過
作
于
，連結
．
由（１）中的平面
平面知
面，所以
在面
上的射影為
，所以
就是所求的角． …………………………………………9分
令正方體的棱長為
，所以
，所以
．
即與平面所成角的大小的正弦值為
． …………………………12分
18解：（１）
表示取出的三個球中數字最大者為3．
①三次取球均出現最大數字為3的概率
②三取取球中有2次出現最大數字3的概率
③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率
∴
． ……………………………………………………7分
（２）在
時, 利用（１）的原理可知：
,(
=1,2,3,4)
１
２
３
４
的概率分布為：
=1×＋2×＋3×＋4× = ．………………………………………………7分
19、解：（I）由已知拋物線的焦點為
故所求橢圓方程為
…………6分
（II）設直線BC的方程為
代入橢圓方程并化簡得
…………9分
又點A到BC的距離為
， …………11分
所以△ABC面積的最大值為
…………14分
20解：（１）
，
設
為增，
當
，
所以
圖象上的點總在
圖象的上方． …………………………6分
（２）當
．
x
（－∞，0）
（0，1）
1
（1，+∞）
F‘（x）
－
－
0
+
F（x）
減
減
e
增
①當x＞0時，F（x）在x=1時有最小值e，
．
②當x＜0時，F（x）為減函數，
，
．
③當x=0時，
∈R．
由①②③，
恒成立的的范圍是
． ……………………………………14分
21解：（１）由
得
．
而
，所以
，
所以數列
為等比數列． …………………………………………4分
（２）由（１）有
． ……………………………………6分
所以
，
，……，
，累和得
． …8分
因為
，………………………………………………9分
所以
．
記
，用錯位相減法得
，所以
．
所以
．
即當
為奇數時命題成立．……………………………………………………………11分
又
，
所以
．即當為偶數時命題成立．
綜合以上得
．………………………………………………13分
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