絕密★啟用前
2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知 （ ）
A． B． C． D．
2．圓錐曲線 （ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)函數(shù) （ ）
A．（－1，1） B．（－1，+）
C． D．
4．函數(shù)的最大值為 （ ）
A． B． C． D．2
5．已知圓的弦長為時，則a= （ ）
A． B． C． D．
6．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程的四個根組成的一個首項為的等差數(shù)列，則
（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為M、N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為則此雙曲線的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
9．函數(shù) （ ）
A． B．
C． D．
10．已知長方形的四個項點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射解等于反射角），設(shè)P4坐標(biāo)為（的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
11． （ ）
A．3 B． C． D．6
12．一個四面體的所有棱長都為，四個項點在同一球面上，則此球的表面積為 （ ）
A．3 B．4 C．3 D．6
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．展開式中的系數(shù)是 .
15．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，
現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得
使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可
供選擇，則不同的著色方法共有
種.（以數(shù)字作答）
16．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為具所在棱的中點，能得出⊥面MNP的圖形的序號是 .（寫出所有符合要求的圖形序號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫出文字的說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且是和的等比中項. 求.
18．(本小題滿分12分)
如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（Ⅱ）求點A1到平面AED的距離.
19．（本小題滿分12分）
已知 設(shè)
P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減.
Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求的取值范圍.
20．（本小題滿分12分）
21．（本小題滿分14分）
22．（本小題滿分12分，附加題4分）
（Ⅰ）設(shè)中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，
即
將數(shù)列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：
3
5 6
9 10 12
― ― ― ―
― ― ― ― ―
（i）寫出這個三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)； （i i）求.
（Ⅱ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）
設(shè)中所有的數(shù)都是從小到大排列成的數(shù)列，已知
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2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)答案
一、選擇題
1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A
二、填空題
13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤
三、解答題：
17． 解：設(shè)，則復(fù)數(shù)由題設(shè)
18．（Ⅰ）解：連結(jié)BG，則BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角.
設(shè)F為AB中點，連結(jié)EF、FC，
（Ⅱ）解：
19．
解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減
不等式
20．解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點，正東方向為x軸正向.
在時刻：（1）臺風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為
此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是
其中若在t時刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有
即
答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.
21．根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值.
按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）設(shè)
由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直線OF的方程為：①
直線GE的方程為：②
從①，②消去參數(shù)k，得點P（x,y）坐標(biāo)滿足方程
整理得 當(dāng)時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.
當(dāng)時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長。
當(dāng)時，點P到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值。
當(dāng)時，點P 到橢圓兩個焦點（0， 的距離之和為定值2.
22．（本小題滿分12分，附加題4分）
（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48
（i i）解：設(shè)，只須確定正整數(shù)
數(shù)列中小于的項構(gòu)成的子集為
其元素個數(shù)為滿足等式的最大整數(shù)為14，所以取
因為100－
（Ⅱ）解：令
因
現(xiàn)在求M的元素個數(shù)：
其元素個數(shù)為：
某元素個數(shù)為
某元素個數(shù)為
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