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    江蘇省江寧高級中學(xué)2009屆高三迎一模聯(lián)考
    數(shù)學(xué)試題
    一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)位置）
    1．命題“”的否定是    ★    ．
    

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    2．已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)＝__★_
    

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    3．直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是__★
    

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    4. 執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的   ★    ．
    

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    5．已知點A、B、C滿足，，，則的值是_____★________.
    

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    6．若直線過點，則以坐標(biāo)原點為圓心，長為半徑的圓的面積的最小值是       ★        
． 
    

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    7．已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合，則拋物線的焦點坐標(biāo)為     ★      .
    

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    8．分別在區(qū)間[1,6]和[2,4]內(nèi)任取一實數(shù)，依次記為m和n，則的概率為       ★    
    

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    9．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=__★_
    

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    10．已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為_★_
    

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    11．已知、是橢圓+=1的左右焦點，弦過F1，若的周長為，則橢圓的離心率為    ★    ． 
    

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    12．實數(shù)滿足，且，則     
★     

    

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    13．已知一個正三棱錐P－ABC的主視圖如圖所示，若AC＝BC＝，PC＝，則此正三棱錐的全面積為_____★____
    

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    14．已知命題：“在等差數(shù)列中，若，則為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為_★___
     
    

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    二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
    15．在△ABC中，分別是角A，B，C的對邊，，．
    

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    （Ⅰ）求角的值;
    

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    （Ⅱ）若，求△ABC面積．
     
     
     
     
     
     
     
    

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    16．在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．
    （Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；
    （Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；
    （Ⅲ）求證CE∥平面PAB．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

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    17．已知數(shù)列的前n項和為，且．
    

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    （Ⅰ）求數(shù)列通項公式；
    

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    （Ⅱ）若，，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項和．
     
     
    

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    18．經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t（件），價格近似滿足（元）．
    （Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達式；
    （Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
     
     
    

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    19. 已知⊙過點,且與⊙:關(guān)于直線對稱.
    

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    （Ⅰ）求⊙的方程；
    

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    （Ⅱ）設(shè)為⊙上的一個動點,求的最小值；
    

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    （Ⅲ）過點作兩條相異直線分別與⊙相交于,且直線和直線的傾斜角互補,　為坐標(biāo)原點,試判斷直線和是否平行?請說明理由.
    

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    20．已知函數(shù)圖象上一點P（2，f(2)）處的切線方程為．
    

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    （Ⅰ）求的值；
    

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    （Ⅱ）若方程在內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然
    

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    對數(shù)的底，）；
    

    試題詳情
    

    （Ⅲ）令，如果圖象與軸交于，AB中點為，求證：．
     
     
     
     
     
    江蘇省江寧高級中學(xué)2009屆高三迎一模聯(lián)考
    數(shù)學(xué)試題（附加題）
    

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    21．選修4―2　矩陣與變換
    

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    已知矩陣，求特征值λ1，λ2及對應(yīng)的特征向量α1，α2．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    22．已知直線和圓，判斷直線和圓的位置關(guān)系．

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    23．如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，⊥平面ABCD，且，，點E是AB上一點，AE等于何值時，二面角的平面角為．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    24．已知方程為常數(shù)。
    

    試題詳情
    

    （Ⅰ）若，，求方程的解的個數(shù)的期望；
    

    試題詳情
    

    （Ⅱ）若內(nèi)等可能取值，求此方程有實根的概率．
     
     
     
     
    江蘇省江寧高級中學(xué)2009屆高三迎一模聯(lián)考
    

    試題詳情
    

    1．    2．     3．a(chǎn)＝－2．     4.    5．    6．   
    7．       8．     9．  10．     11．   12．0   13．    14．18
     
    15．解：（Ⅰ）由得，，        
3分
    ，                     
5分
    又，∴  。                                    
7分
    （Ⅱ）由可得，，                   
9分
    由得，,                                   
12分
    所以，△ABC面積是                             
14分
     
     
    17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
    ∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
    在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
    ∴CD＝2，AD＝4．
    ∴SABCD＝
    ．……………… 3分
    則V＝．     ……………… 5分
    （Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，
    ∴AF⊥PC．           
……………… 7分
    ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
    ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
    ∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． 
    ∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，
    ∴EF∥CD．則EF⊥PC．      
……… 9分
    ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
    （Ⅲ）證法一：
    取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
    ∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
    ∴EM∥平面PAB．   ……… 12分
    在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
    ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
    ∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
    ∴MC∥平面PAB．  ……… 14分
    ∵EM∩MC＝M，
    ∴平面EMC∥平面PAB．
    ∵EC平面EMC，
    ∴EC∥平面PAB．   ……… 15分
    證法二：
    延長DC、AB，設(shè)它們交于點N，連PN．
    ∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
    ∴C為ND的中點．        
……12分
    ∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分
    ∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
    ∴EC∥平面PAB．   ……… 15分
     
     
    17．解：（Ⅰ）n≥2時，．     ………………… 4分
    n＝1時，，適合上式，
    ∴．              
………………… 5分
    （Ⅱ），．         
………………… 8分
    即．
    ∴數(shù)列是首項為4、公比為2的等比數(shù)列．   ………………… 10分
    ，∴．……………… 12分
    Tn＝＝．           
………………… 14分
    18．解：（Ⅰ） …… 4分
    ＝                       
…………………… 8分
     
     
     
     
    （Ⅱ）當(dāng)0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，
    在t＝5時，y取得最大值為1225；              
…………………… 11分
    當(dāng)10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，
    在t＝20時，y取得最小值為600．              
…………………… 14分
    （答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；
    第20天，日銷售額y取得最小為600元．        
…………………… 15分
     
     
     
    19. 解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…………………(3分)
    則圓的方程為,將點的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為
    …………(5分)
    (Ⅱ)設(shè),則,且…………………(7分)
    ==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)
    …………(10分)
    (Ⅲ)由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),
    ,由,得 
    ……………………(11分)
      因為點的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得………………………
    (13分)
      同理,,所以=
      所以,直線和一定平行…………………………………………………………………(15分)
    20．解：（Ⅰ），，．
    ∴，且．    …………………… 2分
    解得a＝2，b＝1．                          
…………………… 4分
    （Ⅱ），令，
    則，令，得x＝1（x＝－1舍去）．
    在內(nèi)，當(dāng)x∈時，，∴h(x)是增函數(shù)；
    當(dāng)x∈時，，∴h(x)是減函數(shù)．     …………………… 7分
    則方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是……10分
    即．                                               …………………… 12分
    （Ⅲ），．
    假設(shè)結(jié)論成立，則有
    ①－②，得．
    ∴．
    由④得，
    ∴．即．
    即．⑤                             
…………………… 14分
    令，（0＜t＜1)，
    則＞0．∴在0＜t＜1上增函數(shù)． 
    ，∴⑤式不成立，與假設(shè)矛盾．
    ∴．                    
……………………………16
     
    
				
    
	
    
		
    


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