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    2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）
    數(shù) 
學(xué)（理 科）  2009.3
    本試卷共4頁(yè)，21小題， 滿(mǎn)分150分。 考試用時(shí)120分鐘。
    注意事項(xiàng)：

    1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。
    2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
    3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。
    4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。
    5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
     
    參考公式：
    錐體的體積公式, 其中是錐體的底面積, 是錐體的高.
     
    如果事件、互斥，那么.
     
    如果事件、相互獨(dú)立，那么.
     
    一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.                                               

    1．函數(shù)的最小正周期為   
    

    試題詳情
    

       A．                        B.                        C.
                   D.

    

    試題詳情
    

    2．已知i（1i）（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
        A．第一象限         B．第二象限              C．第三象限       D．第四象限
    

    試題詳情
    

    
    

    試題詳情
    

    3．某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷(xiāo)活動(dòng)中，對(duì)10月2號(hào)9時(shí)至14時(shí)
    的銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖1所示．已知9時(shí)
    

    試題詳情
    

    至10時(shí)的銷(xiāo)售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額為
    

    試題詳情
    

      A. 萬(wàn)元                  
B. 萬(wàn)元        
     
    

    試題詳情
    

     C. 萬(wàn)元                 
D.萬(wàn)元
    

    試題詳情
    

    4．已知過(guò)、兩點(diǎn)的直線與直線平行，
    

    試題詳情
    

    則的值為
    

    試題詳情
    

    A.                       B.
  
    

    試題詳情
    

     C.                          D.                                                
     
    

    試題詳情
    

    若輸出的的值等于,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫(xiě)的條件是                      

     
    

    試題詳情
    

    A．?                     B.
?                                
    

    試題詳情
    

     C. ?                     D.
?                                         
     
    

    試題詳情
    

    6．已知：關(guān)于的不等式的解集是R，
    

    試題詳情
    

    ：，則是的
      A．充分非必要條件          
   B．必要非充分條件
    C．充分必要條件               
D．既非充分又非必要條件
    

    試題詳情
    

    7．在中，若，則自然數(shù)的值是
    A．7            
B．8        
 C．9        
D．10
     
    

    試題詳情
    

    8．在區(qū)間上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有且僅
    一個(gè)零點(diǎn)的概率為
    

    試題詳情
    

    A．          
B．        C．        D．
     
     
    

    試題詳情
    

    二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分.
    （一）必做題（9～12題）
    

    試題詳情
    

    9.  若，則              
.
    

    試題詳情
    

    10．若d=1, 則實(shí)數(shù)的值是              
 .               

     
    

    試題詳情
    

    11.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）如圖3所示，
    

    試題詳情
    

    則該幾何體的側(cè)面積為           
cm.
    

    試題詳情
    

    12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意N都有，
    

    試題詳情
    

    且（ N），則的值為       ，的值為       .  
    （二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）                          

    

    試題詳情
    

    13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_              
.
     
    

    試題詳情
    

    14.（幾何證明選講選做題）已知是圓（為圓心）的切線，切點(diǎn)為，交圓于
    

    試題詳情
    

    兩點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)為               
.
    

    試題詳情
    

     15．（不等式選講選做題）已知R，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________．
     
    

    試題詳情
    

    三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.
    16.（本小題滿(mǎn)分12分）
    

    試題詳情
    

     已知△的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.
    

    試題詳情
    

    （1）若, 求的值;
    

    試題詳情
    

    (2) 若△的面積 求的值.
       

     
    

    試題詳情
    

    17.（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

     甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分. 若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為和, 且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響.
    

    試題詳情
    

    （1）求的值；
    

    試題詳情
    

    （2）記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
    

    試題詳情
    

    
    

    試題詳情
    

    18.
（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

    如圖4,
在三棱錐中，平面，,
    

    試題詳情
    

    分別是棱的中點(diǎn)，連接.          

    

    試題詳情
    

    (1)    求證: 平面平面;
    

    試題詳情
    

    (2) 若, 當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí), 
    

    試題詳情
    

    求二面角的平面角的余弦值.
     
                 
                                                         圖4
     
    

    試題詳情
    

    19．(本小題滿(mǎn)分12分)
    

    試題詳情
    

    某車(chē)間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)型零件和1個(gè)型零件配套組成.每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)型零件或者3個(gè)型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一種型號(hào)的零件.設(shè)加工型零件的工人人數(shù)為名（N）.
    

    試題詳情
    

    （1）設(shè)完成型零件加工所需時(shí)間為小時(shí)，寫(xiě)出的解析式；
    

    試題詳情
    

    （2）為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取何值？
     
     
     
    

    試題詳情
    

    20．（本小題滿(mǎn)分14分）
    

    試題詳情
    

    已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.
    

    試題詳情
    

    （1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；
    

    試題詳情
    

    （2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
     
     
     
     
    

    試題詳情
    

    21. (本小題滿(mǎn)分14分)
    

    試題詳情
    

    已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程N的兩根,且
    

    試題詳情
    

    .
    

    試題詳情
    

    (1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
    

    試題詳情
    

    (2) 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 問(wèn)是否存在常數(shù),使得對(duì)任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.
     
     
     
     
    2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）
    

    試題詳情
    

    說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
          2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．
          3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
    4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
     
    一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分． 
     
    題號(hào)
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    A
    B
    C
    D
    A
    C
    B
    D
     
    二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共7小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．
    9．        
10．    11．       12．-1；4     13．
    14．1        
15.   
    三、解答題：本大題共6小題，滿(mǎn)分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．
    16．（本小題滿(mǎn)分12分） 
    （本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）
    解: (1)∵, 且,
         ∴ .                       
              
         由正弦定理得.                                       

         ∴.                                     

       (2)∵                                        

         ∴.
         ∴ .                                                       

        由余弦定理得,
    ∴.      
     
    17．（本小題滿(mǎn)分14分） 
    （本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）
    解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“甲射擊一次,
    未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標(biāo)”為事件，
    則，.                        

    依題意得，                                

            解得.
            故的值為.                                                    

    （2）的取值分別為.                                            

    ，                      

    ，
    ，                     

    的分布列為
    0
    2
    4
     
                                                                      
 
                                        
     
    18．（本小題滿(mǎn)分14分） 
    （本小題主要考查空間中線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）
     (1)
證明: ∵分別是棱的中點(diǎn)，
             ∴是△的中位線.
             ∴.                           
  
            
∵平面平面
            
∴平面.                                             

            
同理可證 平面.        
    ∵平面,平面,
    ∴平面// 平面.                                      

                   
    (2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:
    解法1: 由已知平面, ,
        ∴.
        ∴三棱錐的體積為
                                  
                    
                 
                 
                                  

                                  
.                                 

         當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值,其值為, 此時(shí).          

     
          
    解法2：設(shè)，在Rt△中，.
          
          ∴三棱錐的體積為
                                    

                                    
                        
                                    

                                    
.    
           ∵,          

         ∴ 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，其值為，此時(shí). 
        求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法: 
     解法1:作,垂足為, 連接.
          ∵ 平面，平面平面,
          ∴ 平面.
          ∵ 平面,      
    ∴ .
          ∵ ,     
    ∴ 平面.
    ∵平面,
          ∴.
         ∴ 是二面角的平面角.                              

         在Rt△中,, 
         ∴.
    在Rt△中,,
    .
    ∴二面角的平面角的余弦值為.                     

    解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
         則.
         ∴.   
       設(shè)n為平面的法向量,
      
    ∴
    即
    令, 則.
    ∴為平面的一個(gè)法向量.                           

    ∵平面的一個(gè)法向量為,
    ∴.             

    ∴二面角的平面角的余弦值為.                        

    19．（本小題滿(mǎn)分12分）
    （本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）
    解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個(gè)，
    則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.    
         （2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個(gè)，
     則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.
    設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)，則為與的較大者.
    令，即，
    解得.                                                       

    所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
    故.                             

    當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，
    則在上的最小值為（小時(shí)）；                  

     當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，
    則在上的最小值為（小時(shí)）；            

    ，
    在上的最小值為.
    .
    答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取.           
            
     
    20．（本小題滿(mǎn)分14分）
    （本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）
    解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.
    ∵，
    ∴點(diǎn)在圓內(nèi).                                                   

    設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，
    即.             
                                 
    ∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為
    ,  則.
    ∴.
    ∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.                          

     
     (2)由 消去化簡(jiǎn)整理得：.
    設(shè)，，則.
     
    △.  ①                             

    由 消去化簡(jiǎn)整理得：.
    設(shè)，則,
     
    △
		
    

    

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