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    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    由于當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，造成青少年視力普遍下降，現(xiàn)從某高中隨機抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學(xué)生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）如下：
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    （Ⅰ）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
    （Ⅱ）若視力測試結(jié)果不低丁5.0，則稱為“好視力”，求校醫(yī)從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“好視力”的概率；
    （Ⅲ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
    

			
    
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    由y=|x|和y=3所圍成的封閉圖形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為
     
    ．
    

			
    
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    由tanα=t得sinα=±
    t
    		1+t2
    其符號是（　�。�
    
                
    A、當(dāng)α在一、二象限取正，在三、四象限取負(fù)
    B、當(dāng)α在一、四象限取正，在二、三象限取負(fù)
    C、在α在一、三象限取正，在二、四象限取負(fù)
    D、當(dāng)α僅在第一象取取正
    

			
    
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    由坐標(biāo)原點O向函數(shù)y=x3-3x2的圖象W引切線l1，切點為P1（x1，y1）（P1，O不重合），再由點P1引W的切線l2，切點為P2（x2，y2）（P1，P2不重合），…，如此繼續(xù)下去得到點列{Pn（xn，yn）}．
    （Ⅰ）求x1的值；
    （Ⅱ）求xn與xn+1滿足的關(guān)系式；
    （Ⅲ）求數(shù)列{xn}的通項公式．
    

			
    
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    9、由命題“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命題，求得m的取值范圍是（a，+∞），則實數(shù)a的值是 

    1
    ．
    

			
    
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        例10  為促進(jìn)個人住房商品化的進(jìn)程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：
     
    貸款期(年數(shù))
    公積金貸款月利率(‰)
    商業(yè)性貸款月利率(‰)
    ……
    11
    12
    13
    14
    15
    ……
    ……
    4.365
    4.455
    4.545
    4.635
    4.725
    ……
    ……
    5.025
    5.025
    5.025
    5.025
    5.025
    ……

    
    汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數(shù)是多少? 
    
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)

    
   講解  設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
    
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
    
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
    
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
    
　　　　　　　　　　�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
    
　　……
    
　　第n月末欠款數(shù)　
    
    得：                                   
    　　對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
    
　　∴
    
　　對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
    
　　∴
    
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元． 
    
　　(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業(yè)貸款
    
　　　
    
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    
    再加上當(dāng)月的計劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．    
       
需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進(jìn)行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.
        例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實驗，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．
    （1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物？（精確到天）
    （2）第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）
    


    
 
    
  
  
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          天數(shù)t
          病毒細(xì)胞總數(shù)N
          1
          2
          3
          4
          5
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          7
          …
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          2
          4
          8
          16
          32
          64
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          講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時間n的函數(shù)為, 則由
          兩邊取對數(shù)得    n27.5,
             即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.
          （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,
          再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,
          由題意≤108，兩邊取對數(shù)得
          ，
               故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．
              本題反映的解題技巧是“兩邊取對數(shù)”，這對實施指數(shù)運算是很有效的.
               例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)=
+［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).
          （1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；  
          （2）求證：當(dāng)g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；  
          （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？
           講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0,
∴g(0)=   .                       
          (2) 我們易證得0<t1<t2, 則
          g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
          ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
          ∴g(t1)<g(t2)    .                                                       
          故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.                 
          (3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
          ∴=e，∴t=
ln20，
          故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.
          高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.