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				11．已知函數(shù).且則等于   A．0        B．1        C．50      D．100			【查看更多】
			


		
     
    


		
    
		
    題目列表(包括答案和解析)
    

		
		
    

    


    
	
    				
    
									
    已知函數(shù)f（x）=lnx-
    1
    2
    ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
    （1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
    （2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
    a
    2
    ）-1
    （3）首先閱讀材料：對于函數(shù)圖象上的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當x0=
    x1+x2
    2
    時，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由．
    

			
    
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    已知函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）•f（b），且f（x）＞0（x∈R）若f(1)=
    12
    ，則f（-2）等于
     
    ．
    

			
    
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    已知函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x2+2cosx且f（0）=0，則關(guān)于實數(shù)x的不等式f（x-2）+f（x2-2x）＞0的解集為（　�。�
    

			
    
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    已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
    （1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
    （2）證明：對任意實數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    =0    在（x1，x2）恒有實數(shù)解
    （3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點x0，使得f′(x0)=
    f(b)-f(a)
    b-a
    ．如我們所學(xué)過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
    當0＜a＜b時，
    b-a
    b
    ＜ln
    b
    a
    ＜
    b-a
    a
    （可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．
    

			
    
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    已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0且a≠1），f-1（x）是f（x）的反函數(shù)，若y=f-1（x）的圖象過點（3，4），則a等于（ ）
    A．
    B．
    C．
    D．2
    

			
    
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    數(shù)學(xué)（理）
    第I卷（共60分）
    一、選擇題（每小題5分，共60分）
    題號
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    12
    答案 
    A
    B
    C
    C
    A
    A
    A
    A
    D
    B
    A
    A
    第Ⅱ卷（共90分）
    二、填空題（每小題4分，共16分）
    13．6ec8aac122bd4f6e       14．3       15．97        16．③
    三、解答題（共74分）
    17．（本小題滿分12分）
       （I）6ec8aac122bd4f6e的內(nèi)角和6ec8aac122bd4f6e。
            6ec8aac122bd4f6e，
            6ec8aac122bd4f6e
       （Ⅱ）6ec8aac122bd4f6e
            
6ec8aac122bd4f6e
            
當6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e取最大值6ec8aac122bd4f6e
    18．（本題滿分12分）
        記A：該夫婦生一個小孩是患病男孩，B：該夫婦生一個小孩是患病女孩：C：該夫婦生一個小孩是不患病男孩；D：該夫婦生一個小孩是不患病女孩，則
        6ec8aac122bd4f6e
       （I）6ec8aac122bd4f6e
             
6ec8aac122bd4f6e
             
6ec8aac122bd4f6e
       （Ⅱ）顯然，6ec8aac122bd4f6e的取值為0，1，2，3
             
6ec8aac122bd4f6e
             
6ec8aac122bd4f6e
             
所以6ec8aac122bd4f6e的分布列為
    6ec8aac122bd4f6e
    0
    1
    2
    3
    6ec8aac122bd4f6e
    6ec8aac122bd4f6e
    6ec8aac122bd4f6e
    6ec8aac122bd4f6e
    6ec8aac122bd4f6e
            
     
     
     
         
             
顯然，6ec8aac122bd4f6e，故6ec8aac122bd4f6e
    19．（本題滿分12分）
    解法一：（I）證明：連接6ec8aac122bd4f6e，設(shè)6ec8aac122bd4f6e，連接DE
        
6ec8aac122bd4f6e三棱柱6ec8aac122bd4f6e是正三棱柱，且6ec8aac122bd4f6e，
        
6ec8aac122bd4f6e四邊形6ec8aac122bd4f6e是正方形，
        
∴E是6ec8aac122bd4f6e的中點，又6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e的中點，
        
∴6ec8aac122bd4f6e
        
∵6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，
        
∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e
    （Ⅱ）解：在平面6ec8aac122bd4f6e內(nèi)作6ec8aac122bd4f6e于點6ec8aac122bd4f6e，在面6ec8aac122bd4f6e；內(nèi)作6ec8aac122bd4f6e于6ec8aac122bd4f6e連接6ec8aac122bd4f6e。
        
∵平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e，
        
∵6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e在平面6ec8aac122bd4f6e上的射影，6ec8aac122bd4f6e
        
∴6ec8aac122bd4f6e是二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角
        
設(shè)6ec8aac122bd4f6e在正6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e
        
在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e中，6ec8aac122bd4f6e
        
從而6ec8aac122bd4f6e
        
所以，二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值為6ec8aac122bd4f6e
    解法二：建立空間直角坐標系6ec8aac122bd4f6e，如圖，
    （I）證明：連接6ec8aac122bd4f6e設(shè)6ec8aac122bd4f6e，連接6ec8aac122bd4f6e，設(shè)6ec8aac122bd4f6e
    6ec8aac122bd4f6e   
則6ec8aac122bd4f6e
       
6ec8aac122bd4f6e
       
6ec8aac122bd4f6e
       
6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e平面6ec8aac122bd4f6e
    （Ⅱ）解：∵6ec8aac122bd4f6e
          設(shè)6ec8aac122bd4f6e是平面6ec8aac122bd4f6e的法向量，則6ec8aac122bd4f6e，且6ec8aac122bd4f6e
          故6ec8aac122bd4f6e，取6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e；
          同理，可求得平面6ec8aac122bd4f6e的法向量是6ec8aac122bd4f6e
          設(shè)二面角6ec8aac122bd4f6e的大小為6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e
          所以，二面角6ec8aac122bd4f6e的平面角的余弦值為6ec8aac122bd4f6e
    20．（本題滿分12分）
      （I）6ec8aac122bd4f6e
           6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上是增函數(shù)，
           6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上恒成立，即6ec8aac122bd4f6e恒成立。
           6ec8aac122bd4f6e（當且僅當6ec8aac122bd4f6e時，等號成立），
           6ec8aac122bd4f6e
           所以6ec8aac122bd4f6e
     （Ⅱ）設(shè)6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e
           6ec8aac122bd4f6e
          （1）當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e最小值為6ec8aac122bd4f6e；
          （2）當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e最小值為6ec8aac122bd4f6e
    21．（本題滿分12分）
      （I）將6ec8aac122bd4f6e代入6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，整理得
          6ec8aac122bd4f6e
          由6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，故
    6ec8aac122bd4f6e
    （Ⅱ）當兩條切線的斜率都存在而且不等于6ec8aac122bd4f6e時，設(shè)其中一條的斜率為k，
          則另外一條的斜率為6ec8aac122bd4f6e
          于是由上述結(jié)論可知橢圓斜率為k的切線方程為
          6ec8aac122bd4f6e    ①
          又橢圓斜率為6ec8aac122bd4f6e的切線方程為
          6ec8aac122bd4f6e    ②
          由①得6ec8aac122bd4f6e
          由②得6ec8aac122bd4f6e
          兩式相加得6ec8aac122bd4f6e
          于是，所求P點坐標6ec8aac122bd4f6e滿足6ec8aac122bd4f6e因此，6ec8aac122bd4f6e
          當一條切線的斜率不存在時，另一條切線的斜率必為0，此時顯然也有6ec8aac122bd4f6e
          所以6ec8aac122bd4f6e為定值。
    22．（本題滿分14分）
     （I）由6ec8aac122bd4f6e知6ec8aac122bd4f6e
          當6ec8aac122bd4f6e時，6ec8aac122bd4f6e，化簡得
          6ec8aac122bd4f6e  ①
          以6ec8aac122bd4f6e代替6ec8aac122bd4f6e得
          6ec8aac122bd4f6e   ②
          兩式相減得
          6ec8aac122bd4f6e
          則6ec8aac122bd4f6e，其中6ec8aac122bd4f6e
          所以，數(shù)列6ec8aac122bd4f6e為等差數(shù)列
    （Ⅱ）由6ec8aac122bd4f6e，結(jié)合（I）的結(jié)論知6ec8aac122bd4f6e
          于是不等式6ec8aac122bd4f6e
          因此，欲證原不等式成立，只需證6ec8aac122bd4f6e即6ec8aac122bd4f6e
          令6ec8aac122bd4f6e，則6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上恒正，
          6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上單調(diào)遞增，當6ec8aac122bd4f6e時，恒有6ec8aac122bd4f6e
    其他解法參照以上評分標準評分
     
     
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