Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

　　　　　　　

　　　　　　　備用圖

（1）求拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上一點(diǎn)，連接、、，與軸交于．

①點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求出線段的長(zhǎng)；

②點(diǎn)為軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②或．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）①將點(diǎn)E代入拋物線解析式，計(jì)算點(diǎn)E，得出AB，AE，BE長(zhǎng)度，證得，然后分為與兩種情況進(jìn)行討論即可；

②根據(jù)題意信息，求得直線CE的解析式，通過角度轉(zhuǎn)化，結(jié)合銳角三角函數(shù)，相似成比例，求得點(diǎn)H的坐標(biāo)．

解：（1）將、、代入得，

解得：

拋物線的解析式為：；

（2）①將代入中，

得，

解得或（舍去）

，

、，

，，，

，

，

，

，

（I）當(dāng)時(shí)，

與點(diǎn)重合，

圖1

（II）當(dāng)時(shí)，

，

，

，

故：的長(zhǎng)為或；

圖2

②點(diǎn)的坐標(biāo)為或

（I）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，

又，

，

，

，

，

，，

直線的解析式為，

，

，

，

，

，

，

又，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入中，得：或（舍去）

，

，，，

設(shè)，則，，

，

解得，，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得：，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

圖3

（II）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，

，

由（I）知：，則，

，

又，

，

，

，

由（I）知：

則，

設(shè)，則，

，，

，

，，又，

，代中，得，或（舍去）

，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，得，．

點(diǎn)的坐標(biāo)為

圖4

綜合以上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或．