Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．

（1）求證：△ABF是等邊三角形；

（2）若∠CDF=45°，CF=2，求AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)在ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度數(shù)，然后根據(jù)AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度數(shù)，然后等邊三角形的判定方法即可得到△ABF是等邊三角形；

（2）作FG⊥DC于點(diǎn)G，然后根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可以得到CG、FG的長(zhǎng)，然后即可得到DG的長(zhǎng)，從而可以得到DC的長(zhǎng)，然后即可得到AB的長(zhǎng)．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DAB=120°，

∵AF平分∠DAB，

∴∠FAB=60°，

∴∠FAB=∠ABF=60°，

∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，

∴△ABF是等邊三角形；

（2）作FG⊥DC于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=60°，

∴DC∥AB，DC=AB，

∴∠FCG=∠ABC=60°，

∴∠GFC=30°，

∵CF=2，∠FGC=90°，

∴CG=1，FG=，

∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，

∴∠FDG=∠DFG=45°，

∴DG=FG=，

∴DC=DG+CG=，

∴AB=，

即AB的長(zhǎng)度是．