Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，G是CD邊上的一個動點（G不與C、D重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE、BG，并延長BG交DE于點H．
（l）求證：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）當點G運動到何處時，四邊形DGEF是平行四邊形，并加以證明．
（3）當點G運動到何處時，BH垂直平分DE？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，則可根據(jù)SAS證得①△BCG≌△DCE；然后根據(jù)全等三角形的對應角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，則可得②BH⊥DE．
（2）首先根據(jù)題意可得DG∥EF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知當DG=EF，即DG=CG時，四邊形DGEF是平行四邊形；
（3）由當BD=BE時，BH垂直平分DE，分析求即可得：CG=

2

-1時，BH垂直平分DE．

解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
②∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；

（2）解：當G是CD的中點，即CG=

1

2

CD時，四邊形DGEF是平行四邊形．
理由：連接DF、GE，
∵G是CD的中點，
∴CG=GD，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴DG∥EF，CG=EF，
∴DG=EF，
∴四邊形DGEF是平行四邊形．
∴當G是CD的中點，即CG=

1

2

CD時，四邊形DGEF是平行四邊形．

（3）解：當CG=

2

-1時，BH垂直平分DE，
理由：連接BD，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD=BC=1，
∴BD=

AB2+AD2

=

2

，
∵CG=

2

-1，
∴BE=BC+CE=

2

，
∴BD=BE，
∵BH⊥DE，
∴DH=EH，
∴BH垂直平分DE，
∴當CG=

2

-1時，BH垂直平分DE．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意輔助線的作法．