Question

【題目】已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)周長(zhǎng)為8.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，是否存在定圓，使得動(dòng)直線與之相切，若存在寫出圓的方程，并求出的面積的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，從而求出答案；

（Ⅱ）法1：設(shè)，，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，代入橢圓方程相加得，從而可求出，可得，由此可求出答案；

法2：聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理的結(jié)論，代入到可得，從而，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，求出面積的范圍．

解：（Ⅰ）由題意可得，，

故，又有，∴，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）法1：設(shè)，，∵，∴，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，

，兩式相加得，

，

，∴，

，，

∴，．

法2：，

，

，

∴，

∴，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)符合

∴．