Question

【題目】如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且，為等邊三角形，過點的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得，進而得到橢圓方程；

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，并確定的取值范圍；利用，代入韋達定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達式，采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.

（1），，

為等邊三角形，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)四邊形的面積為．

①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，，

．

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，

聯(lián)立得：，

，，．

，，，，

面積．

令，則，，

令，則，，

在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，．

綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．