[題目]如圖.圓臺的軸截面為等腰梯形.圓臺的側面積為.若點分別為圓上的動點.且點在平面的同側. (1)求證:,(2)若.則當三棱錐的體積取最大值時.求與平面所成角的正弦值. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

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【題目】如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，圓臺的側面積為.若點分別為圓上的動點，且點在平面的同側.

（1）求證:；

（2）若，則當三棱錐的體積取最大值時，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)圓臺側面積公式可以求出上下兩底面的半徑，根據(jù)線面垂直的性質、直角三角形的判斷方法進行證明即可；

（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結合基本不等式確定點位置，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

（1）證明:設圓的半徑分別為

因為圓臺的側面積為，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如圖，連接線段，

在圓臺中，平面平面，

所以.

又，

所以在中，.

在中，，

故，即.

（2）解:由題意可知，三棱錐的體積為

又在直角三角形中，

所以當且僅當，

即點為弧的中點時，有最大值

連接，因為平面，

所以以為坐標原點，

分別以的方向為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

點，

由可知，

設平面的法向量

則，，

取，

則

所以與平面所成角的正弦值為

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學生序號	1	2	3	4	5	6	7
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甲套設備的樣本的頻率分布直方圖

乙套設備的樣本的頻數(shù)分布表

質量指標值
頻數(shù)	1	6	19	18	5	1

（1）根據(jù)上述所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算產(chǎn)品合格率，并對兩套設備的優(yōu)劣進行比較；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關.

	甲套設備	乙套設備	合計
合格品
不合格品
合計

附：

	0.15	0.10	0.050	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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