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如圖1，半徑為r、R的⊙⊙外切，外公切線AB分別切⊙⊙于A、B，那么AB就是外公切線長(zhǎng)。連，由切線性質(zhì)知

可證得四邊形ABCD為矩形，得

，

因此，，

而在RtΔ

性質(zhì)(2)   外公切線長(zhǎng)等于

7         兩圓外切,經(jīng)常添的輔助線是內(nèi)公切線,因?yàn)閮?nèi)公切線可以產(chǎn)生兩圓相等的弦切角,可將兩圓的元素聯(lián)系起來(lái).

性質(zhì)(3)   添內(nèi)公切線是解決兩圓外切問(wèn)題的金鑰匙.

例2  已知如圖2, ⊙⊙外切于點(diǎn)C,PA切⊙于點(diǎn)A,交⊙于點(diǎn)P、D，直接PC交⊙于點(diǎn)B。

求證：AC平分∠BCD。

解：過(guò)C作⊙⊙的內(nèi)公切線`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P.

又PA切⊙于點(diǎn)A,

所以∠MAC=∠ACM,

所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.

即AC平分∠BCD.

四.看下一例:如圖3, ⊙⊙外切于點(diǎn)P,AB為兩圓的外公切線,切點(diǎn)為A、B,求證為直角三角形.

解:過(guò)P作內(nèi)公切線交AB于E,由切線長(zhǎng)定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根據(jù)定理(在一個(gè)三角形中,一邊上的中線等于該邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形)知為直角三角形.

此題中AB為外公切線與兩圓的切點(diǎn),P為兩圓切點(diǎn).

我們習(xí)慣上把稱(chēng)為切點(diǎn)三角形.

在關(guān)于兩圓外切關(guān)系的幾何證明題中,運(yùn)用切點(diǎn)三角形來(lái)分析問(wèn)題,解決問(wèn)題,可以收到事半功倍的效果,它的應(yīng)用在兩圓外切中尤為重要.

性質(zhì)(4) 切點(diǎn)三角形是直角三角形.

例4(重慶市中考題)如圖4, ⊙⊙外切于點(diǎn)P,內(nèi)公切線PC與外公切線AB(A、B分別是⊙⊙上的切點(diǎn))相交于點(diǎn)C,已知⊙⊙的半徑分別為3、4,則PC的長(zhǎng)等于________.

分析:由于AB為外公切線,由性質(zhì)(2)知

又由性質(zhì)(4)知為直角在三角形且CP=CB=AC,故CP為斜邊AB上的中線,因此

例5.如圖5, ⊙⊙外切于點(diǎn)P,AB為兩圓的外公切線,切點(diǎn)為A、B,連心線

⊙于C,交⊙于D,CA與DB的延長(zhǎng)線相交于Q,求證:.

簡(jiǎn)析：連AP、BP,由上題知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四邊形內(nèi)角和定理知∠Q=Rt∠,即

兩圓外切關(guān)系的這些性質(zhì),在解題時(shí)要靈活的應(yīng)用.在例4、例5中的切點(diǎn)三角形并不是現(xiàn)成有的,而是添線構(gòu)造出來(lái)的,難度稍大些,因此腦子中對(duì)切點(diǎn)三角形這些性質(zhì)必須有深刻的印象,才能舉一反三,觸類(lèi)旁通.